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Le funzioni goniometriche: coseno

Le funzioni goniometriche rientrano nella categoria delle funzioni trascendenti.

Definizioni preliminare e proprietà delle funzioni goniometriche principali sono introdotte nei moduli dedicati alle funzioni goniometriche. In questo modulo ci si limiterà semplicemente a richiamare il grafico e le principali caratteristiche della funzione coseno e a descrivere i primi passi che conducono allo studio di funzioni che comprendono la funzione seno.

È importante osservare che la caratteristica più significativa delle funzioni goniometriche è la periodicità. Pertanto sarà sufficiente studiare la funzione in un intervallo completo di periodicità per avere il comportamento in tutto il suo dominio.

Si consideri la circonferenza goniometrica (di centro l'origine e raggio 1) in un riferimento cartesiano Studenti/matematica e si consideri un punto Studenti/matematica su tale circonferenza. La semiretta uscente dall'origine e passante per Studenti/matematica, forma con l'asse delle ascisse un angolo Studenti/matematica. Si definiscono coseno e seno di Studenti/matematica e si indicano con Studenti/matematica e Studenti/matematica rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto Studenti/matematica, cioè Studenti/matematica

Studenti/matematica

Si consideri la funzione Studenti/matematica. Il suo grafico, detto cosinusoide, è il seguente

Studenti/matematica

Si ha che:

  • il dominio conicide con l'asse reale Studenti/matematica

  • il codominio è limitato e coincide con l'intervallo Studenti/matematica

  • è una funzione pari

  • assume valori positivi nel primo e quarto quadrante e negativi nel secondo e terzo quadrante

  • è una funzione periodica di periodo Studenti/matematica

Nella seguente tabella sono riepilogati i valori assunti dalla funzione Studenti/matematica in alcuni angoli particolari:

Studenti/matematica

Esempio

Si consideri al funzione

Studenti/matematica
1

Tipo di funzione

La funzione è del tipo trascendente goniometrica di periodo Studenti/matematica.

Dominio

Coincide con l’asse reale Studenti/matematica. Grazie alla periodicità è possibile scegliere un appropriato dominio di studio. In questo caso, la parità della funzione (esplicitata al passo 3) suggerisce di considerare un intervallo di periodicità che risulti simmetrico rispetto a Studenti/matematica come ad esempio l’intervallo Studenti/matematica.

Parità o disparità, simmetrie evidenti

Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari

Studenti/matematica (definizione di funzione pari)

Studenti/matematica (definizione di funzione dispari)

si può concludere che la (1) è una funzione pari;

Segno

Studio della variazione del segno. Bisogna porre Studenti/matematica. Si ha:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Risolvendo la disequazione, si può concludere che la funzione assume valori positivi per tutti i valori della Studenti/matematica compresi in Studenti/matematica e negativi altrove.

Intersezioni con gli assi

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica. Ciò significa che la funzione passa per i punti di coordinate Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica. Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate Studenti/matematica.

Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.

Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue

Studenti/matematica