Si chiama funzione potenza una funzione del tipo le cui proprietà dipendono dal valore assunto dall’esponente . In particolare, se la funzione degenera nella retta parallela all’asse di equazione ; pertanto, nel seguito, si prenderanno in considerazione i valori dell’esponente non nulli. Si tratteranno i casi in cui è intero positivo, per poi passare ad esponenti interi negativi ed esponenti frazionari.
Ai fini di una più immediata comprensione delle funzioni potenza, si riportano le principali proprietà delle potenze:
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Una potenza ad esponente zero è pari ad 1, cioè
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Il prodotto di due potenze con uguale base è una potenza con la stessa base e con esponente la somma degli esponenti:
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Il quoziente di due potenze con uguale base è una potenza con la stessa base e con esponente la differenza degli esponenti:
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La potenza di una potenza è una potenza con la stessa base e con esponente il prodotto degli esponenti:
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Il prodotto di più potenze con uguale esponente è una potenza avente lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi:
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Il quoziente fra due potenze con uguale esponente è una potenza avente lo stesso esponente e come base il quoziente fra le due basi:
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Due potenze con stessa base ed esponenti diversi coincidono se e solo se coincidono anche gli esponenti:
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Se è esponente intero pari allora e la funzione si dice pari.
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Se è esponente intero dispari allora e la funzione si dice dispari.
Vediamo adesso il comportamento della funzione potenza in particolari casi dell’esponente .
Consideriamo il caso in cui l’esponente è un intero positivo.
La funzione con esponente intero positivo è definita come il prodotto di fattori uguali a
Da ciò segue che la funzione è definita qualunque sia il valore della , sia positivo che negativo, cioè su tutto l’asse reale .
Da quanto si evince dalla proprietà 8 delle potenze, se è intero positivo pari, la funzione è una funzione pari ed è facile dedurre che, noto il grafico della funzione per i valori positivi della , il grafico della funzione su tutto il suo insieme di definizione si ottiene per simmetria rispetto all’asse delle ordinate (ossia ribaltando la parte di grafico relativa alle ascisse positive intorno all’asse delle ordinate). La figura seguente illustra il grafico di una generica funzione potenza ad esponente intero pari
Se, invece, è intero positivo dispari, la funzione è dispari. Pertanto, per ottenere la parte di grafico relativa alle ascisse negative a partire da quella corrispondente ai valori positivi di , occorre questa volta fare un doppio ribaltamento: la prima volta rispetto all’asse delle ordinate e la seconda rispetto all’asse delle ascisse con il risultato che il grafico finale risulta simmetrico rispetto all'origine degli assi. La figura seguente illustra il grafico di una generica funzione potenza ad esponente intero dispari
In conclusione, se l’esponente è intero positivo sarà sufficiente studiare la funzione potenza solo per i valori di positivi in quanto per gli negativi il grafico si ottiene per simmetria (rispetto all' asse delle ordinate per esponenti pari e rispetto all’origine per esponenti dispari).
Adesso, invece, prendiamo in esame il caso di esponente intero negativo.
La funzione , per intero positivo, può essere riscritta nella forma . Anche questa funzione è pari per pari e dispari per dispari ma non è definita per . All’avvicinarsi di a la funzione “tende ad infinito” ma vi tende in modo diverso a seconda che sia pari o dispari. Le due figure seguenti illustrano i grafici della funzione potenza ad esponente intero pari e ad esponente intero dispari, rispettivamente
Consideriamo ora la funzione potenza quando l’esponente è frazionario del tipo .
Quando è un intero positivo, è compreso tra 0 e 1 e si ha, come noto,
In questo caso per pari la funzione è definita solo per gli non negativi, mentre per gli dispari è definita anche per gli negativi.
Ad esempio, se si ha = il cui grafico è riportato in figura
Come ultimo caso illustriamo il comportamento della funzione potenza quando l’esponente è frazionario del tipo .
Si tratta della funzione reciproca di quella appena esaminata, e può essere scritta nella forma
Il suo grafico, nel caso , è il seguente: