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La funzione potenza

Si chiama funzione potenza una funzione del tipo Studenti/matematica le cui proprietà dipendono dal valore assunto dall’esponente Studenti/matematica. In particolare, se Studenti/matematica la funzione degenera nella retta parallela all’asse Studenti/matematica di equazione Studenti/matematica; pertanto, nel seguito, si prenderanno in considerazione i valori dell’esponente non nulli. Si tratteranno i casi in cui Studenti/matematica è intero positivo, per poi passare ad esponenti interi negativi ed esponenti frazionari.

Ai fini di una più immediata comprensione delle funzioni potenza, si riportano le principali proprietà delle potenze:

  1. Una potenza ad esponente zero è pari ad 1, cioè Studenti/matematica

  2. Il prodotto di due potenze con uguale base è una potenza con la stessa base e con esponente la somma degli esponenti:

    Studenti/matematica
  3. Il quoziente di due potenze con uguale base è una potenza con la stessa base e con esponente la differenza degli esponenti:

    Studenti/matematica
  4. La potenza di una potenza è una potenza con la stessa base e con esponente il prodotto degli esponenti:

    Studenti/matematica
  5. Il prodotto di più potenze con uguale esponente è una potenza avente lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi:

    Studenti/matematica
  6. Il quoziente fra due potenze con uguale esponente è una potenza avente lo stesso esponente e come base il quoziente fra le due basi:

    Studenti/matematica
  7. Due potenze con stessa base ed esponenti diversi coincidono se e solo se coincidono anche gli esponenti:

    Studenti/matematica
  8. Se Studenti/matematica è esponente intero pari allora Studenti/matematica e la funzione si dice pari.

  9. Se Studenti/matematica è esponente intero dispari allora Studenti/matematica e la funzione si dice dispari.

    Vediamo adesso il comportamento della funzione potenza in particolari casi dell’esponente Studenti/matematica.

    Consideriamo il caso in cui l’esponente Studenti/matematica è un intero positivo.

    La funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica esponente intero positivo è definita come il prodotto di Studenti/matematica fattori uguali a Studenti/matematica

    Studenti/matematica

    Da ciò segue che la funzione è definita qualunque sia il valore della Studenti/matematica, sia positivo che negativo, cioè su tutto l’asse reale Studenti/matematica.

    Da quanto si evince dalla proprietà 8 delle potenze, se Studenti/matematica è intero positivo pari, la funzione Studenti/matematica è una funzione pari ed è facile dedurre che, noto il grafico della funzione per i valori positivi della Studenti/matematica, il grafico della funzione su tutto il suo insieme di definizione si ottiene per simmetria rispetto all’asse delle ordinate (ossia ribaltando la parte di grafico relativa alle ascisse positive intorno all’asse delle ordinate). La figura seguente illustra il grafico di una generica funzione potenza ad esponente intero pari

    Studenti/matematica

    Se, invece, Studenti/matematica è intero positivo dispari, la funzione Studenti/matematica è dispari. Pertanto, per ottenere la parte di grafico relativa alle ascisse negative a partire da quella corrispondente ai valori positivi di Studenti/matematica, occorre questa volta fare un doppio ribaltamento: la prima volta rispetto all’asse delle ordinate e la seconda rispetto all’asse delle ascisse con il risultato che il grafico finale risulta simmetrico rispetto all'origine degli assi. La figura seguente illustra il grafico di una generica funzione potenza ad esponente intero dispari

    Studenti/matematica

    In conclusione, se l’esponente Studenti/matematica è intero positivo sarà sufficiente studiare la funzione potenza Studenti/matematica solo per i valori di Studenti/matematica positivi in quanto per gli Studenti/matematica negativi il grafico si ottiene per simmetria (rispetto all' asse delle ordinate per esponenti pari e rispetto all’origine per esponenti dispari).

    Adesso, invece, prendiamo in esame il caso di Studenti/matematica esponente intero negativo.

    La funzione Studenti/matematica, per Studenti/matematica intero positivo, può essere riscritta nella forma Studenti/matematica. Anche questa funzione è pari per Studenti/matematica pari e dispari per Studenti/matematica dispari ma non è definita per Studenti/matematica. All’avvicinarsi di Studenti/matematica a Studenti/matematica la funzione “tende ad infinito” ma vi tende in modo diverso a seconda che Studenti/matematica sia pari o dispari. Le due figure seguenti illustrano i grafici della funzione potenza ad esponente intero pari e ad esponente intero dispari, rispettivamente

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    Consideriamo ora la funzione potenza quando l’esponente è frazionario del tipo Studenti/matematica.

    Quando Studenti/matematica è un intero positivo, Studenti/matematica è compreso tra 0 e 1 e si ha, come noto,

    Studenti/matematica

    In questo caso per Studenti/matematica pari la funzione è definita solo per gli Studenti/matematica non negativi, mentre per gli Studenti/matematica dispari è definita anche per gli Studenti/matematica negativi.

    Ad esempio, se Studenti/matematica si ha Studenti/matematica=Studenti/matematica il cui grafico è riportato in figura

    Studenti/matematica

    Come ultimo caso illustriamo il comportamento della funzione potenza quando l’esponente è frazionario del tipo Studenti/matematica.

    Si tratta della funzione reciproca di quella appena esaminata, e può essere scritta nella forma

    Studenti/matematica

    Il suo grafico, nel caso Studenti/matematica, è il seguente:

    Studenti/matematica