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La funzione logaritmo e proprietà dei logaritmi

La funzione logaritmo

Introduciamo subito la definizione di logaritmo.

Definizione

Si definisce logaritmo in base Studenti/matematica di un numero Studenti/matematica l'esponente da dare ad Studenti/matematica per ottenere Studenti/matematica, ossia

Studenti/matematica

dove Studenti/matematica è detto argomento del logaritmo.

Si deve tener presente che per il logaritmo valgono nel seguenti proprietà:

  • l'argomento Studenti/matematica deve essere positivo, quindi Studenti/matematica;

  • la base Studenti/matematica deve essere positiva e diversa da 1, quindi Studenti/matematica;

  • il logaritmo può assumere valori positivi, negativi o nulli;

  • il logaritmo vale zero quando l'argomento Studenti/matematica è pari ad 1, cioè Studenti/matematica, qualunque sia la base Studenti/matematica;

  • il logaritmo vale 1 quando l'argomento e la base del logaritmo coincidono, cioè Studenti/matematica, qualunque sia la base Studenti/matematica.

È facile osservare che il logaritmo in base Studenti/matematica di un numero Studenti/matematica è la funzione inversa dell'elevamento a potenza Studenti/matematica, pertanto, a partire dalle proprietà delle potenze è possibile ricavare analoghe proprietà per i logaritmi.

Proprietà dei logaritmi

  1. Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli numeri:

    Studenti/matematica
  2. Il logaritmo del quoziente di due numeri è uguale alla differenza dei logaritmi del numeratore e del denominatore:

    Studenti/matematica
  3. Il logaritmo di una potenza Studenti/matematica è uguale all’esponente Studenti/matematica (della potenza) moltiplicato il logaritmo della base Studenti/matematica (della potenza):

    Studenti/matematica

Dalla (2) discende che il logaritmo del reciproco di un numero è uguale all’opposto del logaritmo del numero stesso:

Studenti/matematica

Anche se i logaritmi possono essere calcolati prendendo come base Studenti/matematica un qualunque numero positivo diverso da 1, nelle scienze applicate si prediligono tre di esse, a seconda del campo di applicazione in cui i logaritmi vengono impiegati:

  • logaritmi in base 10: in tal caso si parla di logaritmi decimali o volgari o di Briggs. Utilizzati, in generale, per le operazioni di calcolo, si indicano con Studenti/matematica;

  • logaritmi in base Studenti/matematica: in tal caso si parla di logaritmi naturali o neperiani usati per lo più nel calcolo infinitesimale; in tal caso il logaritmo si indica anche con il simbolo Studenti/matematica;

  • logaritmi in base 2: in tal caso si parla di logaritmi binari, usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con Studenti/matematica.

Assegnato un logaritmo in una certa base, è possibile passare al logaritmo in una base diversa utilizzando la formula di cambiamento di base, ossia:

Definizione

Assegnato il logaritmo di un numero positivo Studenti/matematica rispetto ad una base Studenti/matematica, è possibile determinare il logaritmo dello stesso numero Studenti/matematica rispetto ad una diversa base Studenti/matematica come segue:

Studenti/matematica