La funzione logaritmo

Introduciamo subito la definizione di logaritmo.

Definizione

Si definisce logaritmo in base di un numero l'esponente da dare ad per ottenere , ossia

dove è detto argomento del logaritmo.

Si deve tener presente che per il logaritmo valgono nel seguenti proprietà:

• l'argomento deve essere positivo, quindi ;

• la base deve essere positiva e diversa da 1, quindi ;

• il logaritmo può assumere valori positivi, negativi o nulli;

• il logaritmo vale zero quando l'argomento è pari ad 1, cioè , qualunque sia la base ;

• il logaritmo vale 1 quando l'argomento e la base del logaritmo coincidono, cioè , qualunque sia la base .

È facile osservare che il logaritmo in base di un numero è la funzione inversa dell'elevamento a potenza , pertanto, a partire dalle proprietà delle potenze è possibile ricavare analoghe proprietà per i logaritmi.

Proprietà dei logaritmi

1. Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli numeri:

   

2. Il logaritmo del quoziente di due numeri è uguale alla differenza dei logaritmi del numeratore e del denominatore:

   

3. Il logaritmo di una potenza è uguale all’esponente (della potenza) moltiplicato il logaritmo della base (della potenza):

   

Dalla (2) discende che il logaritmo del reciproco di un numero è uguale all’opposto del logaritmo del numero stesso:

Anche se i logaritmi possono essere calcolati prendendo come base un qualunque numero positivo diverso da 1, nelle scienze applicate si prediligono tre di esse, a seconda del campo di applicazione in cui i logaritmi vengono impiegati:

• logaritmi in base 10: in tal caso si parla di logaritmi decimali o volgari o di Briggs. Utilizzati, in generale, per le operazioni di calcolo, si indicano con ;

• logaritmi in base : in tal caso si parla di logaritmi naturali o neperiani usati per lo più nel calcolo infinitesimale; in tal caso il logaritmo si indica anche con il simbolo ;

• logaritmi in base 2: in tal caso si parla di logaritmi binari, usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con .

Assegnato un logaritmo in una certa base, è possibile passare al logaritmo in una base diversa utilizzando la formula di cambiamento di base, ossia:

Definizione

Assegnato il logaritmo di un numero positivo rispetto ad una base , è possibile determinare il logaritmo dello stesso numero rispetto ad una diversa base come segue: