Le funzioni logaritmica ed esponenziale rientrano nella categoria delle funzioni trascendenti.

Definizioni preliminare e proprietà della funzione logaritmica (anche detta funzione logaritmo) sono introdotte nel modulo dedicato ai logaritmi. In questo modulo ci si limiterà semplicemente a richiamare il grafico e le principali caratteristiche della funzione logaritmica e a descrivere i primi passi che conducono allo studio di funzioni che comprendono il logaritmo.

Si definisce logaritmo in base di un numero l'esponente da dare ad per ottenere , ossia

con argomento del logaritmo.

Si deve tener presente che:

• l'argomento deve essere positivo, quindi

• la base deve essere positiva e diversa da 1, quindi

• il logaritmo può assumere valori positivi, negativi o nulli

• il logaritmo vale zero quando l'argomento è pari ad 1, cioè qualunque sia la base

• il logaritmo vale 1 quando l'argomento e la base del logaritmo coincidono, cioè qualunque sia la base

Si consideri la funzione con numero reale maggiore di zero e diverso da 1.

Come per la funzione esponenziale, di cui la funzione logaritmo costituisce l’inversa, si distinguono due casi:

Caso

Quando si ha la funzione ha grafico del seguente tipo

La funzione con , gode delle seguenti proprietà:

• è definita solo per valori positivi dell’argomento ed assume valori su tutto l’asse reale (ossia ha dominio e codominio )

• è monotona decrescente

• interseca gli assi nel punto di coordinate

• assume valori positivi per

• assume valori negativi per

• è nulla per

Inoltre, osservando il grafico in figura 1, è facile dedurre che:

• quando “cresce” la funzione logaritmica “decresce”, cioè è decrescente

• quando si “avvicina” a 0 la funzione logaritmica “cresce”

Caso

Quando si ha la funzione ha un grafico del tipo di quello in figura 2

La funzione con , gode delle seguenti proprietà:

• è definita solo per valori positivi dell’argomento ed assume valori su tutto l’asse reale (ossia ha dominio e codominio )

• è monotona crescente

• interseca gli assi nel punto di coordinate

• assume valori negativi per

• assume valori positivi per

• è nulla per

Inoltre, osservando il grafico in figura 2, è facile dedurre che:

• quando “cresce” la funzione logaritmica “cresce”, cioè la funzione è crescente

• quando si “avvicina” a 0 la funzione logaritmica “decresce”

La figura seguente mostra il confronto tra le funzione logaritmiche nei due casi, con i valori ed

Esempio

Si consideri al funzione

Tipo di funzione

In questo caso la funzione è trascendente logaritmica.

Dominio

Poichè la funzione logaritmica è definita solo per valori positivi dell’argomento, il dominio coincide con .

Parità o disparità, simmetrie evidenti

Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari

(definizione di funzione pari)

(definizione di funzione dispari)

in questo caso non ha senso valutare per verificare eventuali simmetrie in quanto tali valori di negativi non appartengono al dominio.

Segno

Studio della variazione del segno: bisogna porre Si ha:

Risolvendo la disequazione e ricordando che la funzione logaritmica assume valori positivi solo per valori dell’argomento maggiori di 1, si può concludere che la funzione assume valori positivi per e negativi per .

Intersezioni con gli assi

Intersezione con l'asse :

se allora .

Ciò significa che la funzione passa per i punti di coordinate .

Intersezione con l'asse :

in questo caso non ha senso chiedersi cose accadrebbe se fosse in quanto tale valore non appartiene al dominio.

Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.

Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue