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La funzione esponenziale

Fissato un numero reale Studenti/matematica e Studenti/matematica si chiama funzione esponenziale di base Studenti/matematica la funzione di equazioneStudenti/matematica, il cui dominio è Studenti/matematica e il cui codominio è Studenti/matematica.

Se Studenti/matematica, poiché Studenti/matematica, la funzione esponenziale degenera nella retta parallela all’asse Studenti/matematica di equazione Studenti/matematica. Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione esponenziale al variare di Studenti/matematica, compreso il caso degenere Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Vediamo in particolare i due casi non degeneri, ossia se Studenti/matematica abbiamo due casi:

Caso 1) Studenti/matematica

Quando si ha Studenti/matematica la funzione Studenti/matematica ha un grafico del seguente tipo

Studenti/matematica
1

La funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica, gode delle seguenti proprietà:

  • ha come dominio tutta la retta reale Studenti/matematica;

  • interseca gli assi nel punto di coordinate Studenti/matematica;

  • è maggiore di zero per ogni Studenti/matematica appartenente ad Studenti/matematica;

  • è strettamente crescente su Studenti/matematica.

Inoltre, osservando il grafico della funzione in figura 1 è semplice dedurre che:

  • quando Studenti/matematica “cresce” la funzione esponenziale “cresce”;

  • quando Studenti/matematica “decresce” la funzione esponenziale “tende ad annullarsi”.

Caso 1) Studenti/matematica

Quando Studenti/matematica la funzione Studenti/matematica ha un grafico del tipo di quello in figura 2

Studenti/matematica
2

La funzioneStudenti/matematica con Studenti/matematica , gode delle seguenti proprietà:

  • ha come dominio tutta la retta reale Studenti/matematica e come codominio Studenti/matematica;

  • interseca gli assi nel punto di coordinate Studenti/matematica;

  • è maggiore di zero per ogni Studenti/matematica appartenente ad Studenti/matematica;

  • è strettamente decrescente su Studenti/matematica.

Osservando il grafico della funzione figura 2 è semplice dedurre che:

  • quando Studenti/matematica “cresce” la funzione esponenziale “tende ad annullarsi”;

  • quando Studenti/matematica “decresce” la funzione esponenziale “cresce”.

Si ricordi che un caso particolare di funzione esponenziale è quello in cui Studenti/matematica, dove Studenti/matematica indica il numero di Nepero pari a 2,718 (approssimato alla terza cifra decimale). La figura 3 mostra il grafico della funzione esponenziale con base Studenti/matematica

Studenti/matematica