Le funzioni logaritmo ed esponenziale rientrano nella categoria delle funzioni trascendenti.

Definizioni preliminare e proprietà della funzione esponenziale sono introdotte nel modulo dedicato alla funzione esponenziale. In questo modulo ci si limiterà semplicemente a richiamare il grafico e le principali caratteristiche della funzione esponenziale e a descrivere i primi passi che conducono allo studio di funzioni che comprendono la funzione esponenziale.

Fissato un numero reale e si chiama funzione esponenziale di base la funzione di equazione , il cui dominio è e il cui codominio è .

Se , poiché , la funzione degenera nella retta parallela all'asse di equazione .

Se si distinguono due casi:

Caso

Quando si ha la funzione ha un grafico del seguente tipo

La funzione con , gode delle seguenti proprietà:

• ha come dominio tutta la retta reale e come codominio

• interseca gli assi nel punto di coordinate

• è maggiore di zero per ogni appartenente ad

• è strettamente crescente su

Osservando il grafico della funzione è semplice dedurre che:

• quando “cresce” la funzione esponenziale “cresce”

• quando “decresce” la funzione esponenziale “tende ad annullarsi”

Caso

Quando la funzione ha un grafico del tipo di quello in figura

La funzione con , gode delle seguenti proprietà:

• ha come dominio tutta la retta reale e come codominio

• interseca gli assi nel punto di coordinate

• è maggiore di zero per ogni appartenente ad

• è strettamente decrescente su

Osservando il grafico della funzione è semplice dedurre che:

• quando “cresce” la funzione esponenziale “tende ad annullarsi”

• quando “decresce” la funzione esponenziale “cresce”

La figura seguente mostra le curve riferite ai due casi a confronto

Esempio

Si consideri al funzione

Tipo di funzione

La funzione è del tipo trascendente esponenziale.

Dominio

Coincide con l’asse reale .

Parità o disparità, simmetrie evidenti

Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari

(definizione di funzione pari)

(definizione di funzione dispari)

si può concludere che la (1) non presenta simmetrie evidenti.

Segno

Studio della variazione del segno: bisogna porre Si ha:

risolvendo la disequazione e ricordando che la funzione esponenziale assume sempre valori positivi, si può concludere che la funzione assume valori positivi per e negativi per .

Intersezioni con gli assi

Intersezione con l’asse :

se allora .

Ciò significa che la funzione passa per i punti di coordinate .

Intersezione con l'asse :

se allora .

Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.

Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue