La formula di Bayes o teorema di Bayes evidenzia il ruolo delle probabilità condizionate come strumento teorico per apprendere dall’esperienza, attraverso l’aggiornamento delle valutazioni di probabilità di una o più ipotesi, quando lo stato di informazione cambia a causa del verificarsi di uno o più eventi.
Sia 
un evento e siano 
, 
,...
eventi tra loro incompatibili, cioè 
, e tali che la loro unione coincida con l'evento certo, cioè 
. Allora, può provarsi il teorema o formula di Bayes (o anche teorema della probabilità delle cause)
Esempio
Una fabbrica acquista dei pezzi lavorati presso 3 aziende 
, 
e 
nelle percentuali del 20%, 30% e 50% rispettivamente; sapendo che la percentuale di pezzi difettosi è per l’azienda 
pari al 3%, per l'azienda 
pari al 4% e per l'azienda 
pari al 2%, si calcoli la probabilità che, trovando un pezzo difettoso, esso provenga dall'azienda 
.
Si indichi con 
l’evento “pezzo difettoso”, con 
l’evento “il pezzo proviene dall’azienda 
”, con 
l’evento “il pezzo proviene dall’azienda 
” e con con 
l'evento “il pezzo proviene dall’azienda 
”.
Applicando la (1) si ha
Le probabilità che compaiono al denominatore nella (2) si possono così calcolare:
-
, che indica la probabilità che il pezzo provenga dall'azienda 
, è pari a 
-
, che indica probabilità che il pezzo provenga dall'azienda 
, è pari a 
-
, che indica la probabilità che il pezzo provenga dall'azienda 
, è pari a 
-
, che indica la probabilità che il pezzo difettoso sia quello proveniente dall'azienda 
, è pari a 
-
, che indica la probabilità che il pezzo difettoso sia quello proveniente dall'azienda 
, è pari a 
-
, che indica la probabilità che il pezzo difettoso sia quello proveniente dall'azienda 
, è pari a 
Pertanto, 
, che indica la probabilità che il pezzo difettoso provenga dall'azienda 
, per la (1) è:
