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La formula di Bayes

La formula di Bayes o teorema di Bayes evidenzia il ruolo delle probabilità condizionate come strumento teorico per apprendere dall’esperienza, attraverso l’aggiornamento delle valutazioni di probabilità di una o più ipotesi, quando lo stato di informazione cambia a causa del verificarsi di uno o più eventi.

Sia Studenti/matematica un evento e siano Studenti/matematica, Studenti/matematica,...Studenti/matematica eventi tra loro incompatibili, cioè Studenti/matematica, e tali che la loro unione coincida con l'evento certo, cioè Studenti/matematica. Allora, può provarsi il teorema o formula di Bayes (o anche teorema della probabilità delle cause)

Studenti/matematica
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Esempio

Una fabbrica acquista dei pezzi lavorati presso 3 aziende Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica nelle percentuali del 20%, 30% e 50% rispettivamente; sapendo che la percentuale di pezzi difettosi è per l’azienda Studenti/matematica pari al 3%, per l'azienda Studenti/matematica pari al 4% e per l'azienda Studenti/matematica pari al 2%, si calcoli la probabilità che, trovando un pezzo difettoso, esso provenga dall'azienda Studenti/matematica.

Si indichi con Studenti/matematica l’evento “pezzo difettoso”, con Studenti/matematica l’evento “il pezzo proviene dall’azienda Studenti/matematica”, con Studenti/matematica l’evento “il pezzo proviene dall’azienda Studenti/matematica” e con con Studenti/matematica l'evento “il pezzo proviene dall’azienda Studenti/matematica”.

Applicando la (1) si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Le probabilità che compaiono al denominatore nella (2) si possono così calcolare:

  • Studenti/matematica, che indica la probabilità che il pezzo provenga dall'azienda Studenti/matematica, è pari a Studenti/matematica

  • Studenti/matematica, che indica probabilità che il pezzo provenga dall'azienda Studenti/matematica, è pari a Studenti/matematica

  • Studenti/matematica, che indica la probabilità che il pezzo provenga dall'azienda Studenti/matematica, è pari a Studenti/matematica

  • Studenti/matematica, che indica la probabilità che il pezzo difettoso sia quello proveniente dall'azienda Studenti/matematica, è pari a Studenti/matematica

  • Studenti/matematica, che indica la probabilità che il pezzo difettoso sia quello proveniente dall'azienda Studenti/matematica, è pari a Studenti/matematica

  • Studenti/matematica, che indica la probabilità che il pezzo difettoso sia quello proveniente dall'azienda Studenti/matematica, è pari a Studenti/matematica

Pertanto, Studenti/matematica, che indica la probabilità che il pezzo difettoso provenga dall'azienda Studenti/matematica, per la (1) è:

Studenti/matematica