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L'iperbole equilatera, intersezione fra retta e iperbole

Come per la circonferenza e per l’ellisse, anche per l’iperbole trova interesse il problema dell’intersezione fra retta e iperbole. Ovviamente anche in questo caso si osserva immediatamente che i punti comuni fra una generica retta scritta in forma esplicita e l’iperbole scritta in forma canonica sono le soluzioni del sistema:

Studenti/matematica
1

risolvendo il sistema perveniamo ad una equazione del tipo:

Studenti/matematica
2

Vediamo ora i casi che si possono presentare.

Se Studenti/matematica la retta Studenti/matematica passa per l’origine e la (2) diventa

Studenti/matematica
3

per cui se

Studenti/matematica

implica che

Studenti/matematica

quindi la retta è proprio uno degli asintoti dell’iperbole, quindi il sistema ha una sola soluzione e si interpreta, così come fatto per la definzione di asintoto dell’iperbole, come una retta che tocca la curva in un punto infinitamente distante dall’origine degli assi. Se invece

Studenti/matematica

si ha

Studenti/matematica

da cui si deduce che se il coefficiente della Studenti/matematica è

Studenti/matematica

allora si ricava

Studenti/matematica

e quindi il sistema ammette due soluzioni, ossia la retta passante per l’origine interseca i due rami dell’iperbole.

Studenti/matematica

Al contrario, se il coefficiente della Studenti/matematica è

Studenti/matematica

allora si ricava

Studenti/matematica

e quindi il sistema non ammette soluzioni, ossia la retta passante per l’origine è esterna ai due rami dell’iperbole.

Studenti/matematica

Risulta facile ricavare gli analoghi casi anche quando Studenti/matematica.

Infatti, detto Studenti/matematica il discriminante dell’equazione risolvente (2) si ha

  1. Studenti/matematica, non esistono soluzioni, come nel caso precedente la retta è esterna ai due rami dell’iperbole

    Studenti/matematica
  2. Studenti/matematica, il sistema ammette due soluzioni in Studenti/matematica, per ciascuna di esse si ha una retta che interseca i due rami dell’iperbole.

    Studenti/matematica
  3. Studenti/matematica, in questo caso si hanno ancora due soluzioni in Studenti/matematica, ma essendo il discriminante nullo, il sistema (1) ha, per ciascuna retta, una sola soluzione. Quindi, le due rette in corrispondenza dei due Studenti/matematica trovati sono tangeti all’iperbole, una per ciascun ramo.

    Studenti/matematica

Infine, si noti che nel caso in cui nell’equazione risolvente (2) si ha

Studenti/matematica

si ottiene

Studenti/matematica

ed essendo Studenti/matematica, le rette soluzioni della (1) saranno rette del tipo

Studenti/matematica

quindi rette parallele ad uno degli asintoti dell’iperbole ed intersecano l’iperbole in un punto.

Studenti/matematica

NOTA: Quando si cerca l’equazione della tangente all’iperbole in un suo punto (proprio il caso appena visto) può essere utile fare ricorso alla formula di sdoppiamento, per la varie forme in cui troviamo l’equazione dell’iperbole abbiamo:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 1

Determinare l’equazione della retta tangente nel punto Studenti/matematica all’iperbole di equazione

Studenti/matematica

Per risolvere utilizziamo la formula di sdoppiamento abbiamo

Studenti/matematica

sviluppando abbiamo l'equazione della tangente

Studenti/matematica

Per determinare l’equazione di un’iperbole riferita ai suoi assi in forma canonica

Studenti/matematica

oppure

Studenti/matematica

sono necessarie due condizioni, poiché nella equazione sono presenti due coefficienti incogniti Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Allora, tra i vari casi che si possono presentare, abbiamo:

  1. Passaggio per due punti. Tali punti non devono essere simmetrici rispetto agli assi o all’origine degli assi in quanto una delle coordinate dei due punti coincide con quella dell'altro punto, o, nel secondo caso le coordinate dei punti non sono indipendenti. Sostituendo le coordinate all’equazione dell’iperbole, una per punto, possiamo risolvere il sistema di due equazioni nelle incognite Studenti/matematica e Studenti/matematica.

  2. Conoscenza delle coordinate del vertice e di un fuoco. La conoscenza del fuoco fornisce una condizione, infatti Studenti/matematica ha coordinate Studenti/matematica. Ricordiamo anche che

    Studenti/matematica

    sempre nell’ipotesi che l’iperbole ha come asse di simmetria l’asse Studenti/matematica, il vertice Studenti/matematica ha coordinate Studenti/matematica.

  3. Conoscenza delle coordinate di un fuoco e di un asintoto o di un punto dell’iperbole.

    La conoscenza del fuoco fornisce una condizione, infatti Studenti/matematica ha coordinate Studenti/matematica. Ricordiamo anche che

    Studenti/matematica

    sempre nell’ipotesi che l’iperbole ha come asse di simmetria l’asse Studenti/matematica, l’asintoto ha equazione Studenti/matematica, se non abbiamo l’asintoto ma un punto dell’iperbole imponiamo la condizione di appartenenza del punto alla curva.

  • conoscenza delle coordinate di un punto dell'iperbole e di un asintoto

    Per l’equazione di un’iperbole equilatera nei vari tipi:

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    come si vede dalle equazioni necessita una sola condizione come la condizione di tangenza ad una retta o il passaggio per un punto. Per le iperboli equilatere gli asintoti e l’eccentricità essendo costanti, non possono essere utilizzati.

Esempio 2

Determinare l’equazione dell’iperbole avente l’asse Studenti/matematica come asse focale e come come fuochi ipunti di coordinate Studenti/matematica, passante per il punto di coordinate Studenti/matematica.

Trovandosi i fuochi sull’asse Studenti/matematica l’equazione dell’iperbole é del tipo

Studenti/matematica

Dai dati in possesso possiamo scrivere:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

sostituendo abbiamo

Studenti/matematica

le soluzioni sono

Studenti/matematica

e risulta evidente che la seconda soluzione (quella negativa) non è accettabile.

Pertanto, abbiamo

Studenti/matematica
4

quindi l’equazione dell’iperbole é

Studenti/matematica

Esempio 3

Determinare l’equazione dell’iperbole avente l’asse Studenti/matematica come asse focale e come asintoti le rette di equazione Studenti/matematica, passante per il punto di coordinate Studenti/matematica.

Utilizziamo le due condizioni

Studenti/matematica

abbiamo

Studenti/matematica

l'equazione dell'iperbole sarà pertanto

Studenti/matematica
Studenti/matematica