Un’iperbole si dice equilatera quando i suoi asintoti sono perpendicolari. Vediamo cosa implica questa condizione.

Prese in esame le equazioni dell’iperbole:

verifichiamo che quando l’iperbole è equilatera. Nel primo caso abbiamo

e l’asse trasverso é l’asse , nel secondo caso invece

e l’asse trasverso è l’asse .

Verifichiamo ora la condizione sugli asintoti, in entrambi i casi.

Ricordando che gli asintoti hanno equazioni

si ricava immediatamente che quando le equazioni diventano:

sono quindi le bisettrici dei quadranti e dunque risultano perpendicolari tra loro.

Inoltre, essendo

abbiamo

Per l'eccentricità si ha

mentre i fuochi sono i punti

Analoghi calcoli valgono per l’iperbole con asse trasverso l’asse .

Un caso particolare di iperbole equilatera è quella i cui asintoti sono gli assi cartesiani, ossia la curva risulta ruotata di 45 gradi in senso orario o antiorario, quindi parliamo di un’iperbole riferita ai propri asintoti.

Vogliamo ora costruire l’equazione dell’iperbole con gli assi cartesiani che sono asintoti per la curva e gli assi di simmetria le bisettrici dei quadranti; supponiamo di studiare la curva i cui rami sono nel primo e terzo quadrante.

Osservando la figura

notiamo innanzitutto che poichè la rotazione è una isometria (ossia non modifica le distanze), possiamo riscrivere immediatamente alcune caratteristiche dell’iperbole equilatera a partire dalle condizioni a noi note per l’iperbole.

Infatti, possiamo dire che la distanza tra l’origine degli assi e l’intersezione dell’iperbole con il suo asso vale , quindi possiamo scrivere

mentre la distanza dei fuochi dall’origine degli assi è che sappiamo essere

quindi possiamo scrivere

essendo il punto sulla prima bisettrice cioè ha le ascissa uguale all’ordinata, segue che

quindi

Poi si ricavano facilmente che i fuochi hanno coordinate

Riferendoci, poi, alla definizione di luogo dell'iperbole, preso un punto della curva si ha

da cui

si perviene infine alla equazione

Come detto in precedenza, la rotazione di 45 gradi può essere anche fatta in senso orario, per cui in questo caso i rami dell’iperbole vengono a trovarsi nel secondo e quarto quadrante. Analoghi calcoli fatti fin qui possono condurci a definire che i fuochi saranno

l'equazione sarà in questo caso

In definitiva l’equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti é un’equazione del tipo

con

Se si ha

che significa che gli asintoti sono e e l’iperbole é ridotta alla unione dei due assi coordinati.

Non essendoci in questa equazione alcun punto di ascissa nulla la (1) può essere scritta

conosciuta come equazione della proporzionalità inversa.

Esempio

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti passante per il punto . Individuare i suoi semiassi, la semidistanza focale, le coordinate dei vertici e dei fuochi.

Dalla traccia si può dedurre con il tipo di curva da studiare é l’equazione

e l'appartenenza del punto alla curva conduce alla determinazione di infatti:

quindi l’equazione sarà

L’iperbole si trova nel secondo e quarto quadrante.

Da quanto visto in precedenza, abbiamo

che rappresenta il semiasse trasverso e non trasverso.

La semidistanza focale é

I fuochi sono

Troviamo ora i vertici, per fare ciò dobbiamo intersecare la curva con la bisettrice del secondo e quarto quadrante ():

Le coordinate dei vertici sono:

Avendo calcolato tutti gli elementi possiamo anche tracciare il grafico dell’iperbole