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L'iperbole equilatera

Un’iperbole si dice equilatera quando i suoi asintoti sono perpendicolari. Vediamo cosa implica questa condizione.

Prese in esame le equazioni dell’iperbole:

Studenti/matematica
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verifichiamo che quando Studenti/matematica l’iperbole è equilatera. Nel primo caso abbiamo

Studenti/matematica

e l’asse trasverso é l’asse Studenti/matematica, nel secondo caso invece

Studenti/matematica

e l’asse trasverso è l’asse Studenti/matematica.

Verifichiamo ora la condizione sugli asintoti, in entrambi i casi.

Ricordando che gli asintoti hanno equazioni

Studenti/matematica

si ricava immediatamente che quando Studenti/matematica le equazioni diventano:

Studenti/matematica
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sono quindi le bisettrici dei quadranti e dunque risultano perpendicolari tra loro.

Studenti/matematica

Inoltre, essendo

Studenti/matematica

abbiamo

Studenti/matematica
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Per l'eccentricità si ha

Studenti/matematica

mentre i fuochi sono i punti

Studenti/matematica
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Analoghi calcoli valgono per l’iperbole con asse trasverso l’asse Studenti/matematica.

Un caso particolare di iperbole equilatera è quella i cui asintoti sono gli assi cartesiani, ossia la curva risulta ruotata di 45 gradi in senso orario o antiorario, quindi parliamo di un’iperbole riferita ai propri asintoti.

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Vogliamo ora costruire l’equazione dell’iperbole con gli assi cartesiani che sono asintoti per la curva e gli assi di simmetria le bisettrici dei quadranti; supponiamo di studiare la curva i cui rami sono nel primo e terzo quadrante.

Osservando la figura

Studenti/matematica

notiamo innanzitutto che poichè la rotazione è una isometria (ossia non modifica le distanze), possiamo riscrivere immediatamente alcune caratteristiche dell’iperbole equilatera a partire dalle condizioni a noi note per l’iperbole.

Infatti, possiamo dire che la distanza tra l’origine degli assi e l’intersezione dell’iperbole con il suo asso vale Studenti/matematica, quindi possiamo scrivere

Studenti/matematica

mentre la distanza dei fuochi dall’origine degli assi è Studenti/matematica che sappiamo essere

Studenti/matematica

quindi possiamo scrivere

Studenti/matematica

essendo il punto Studenti/matematica sulla prima bisettrice cioè ha le ascissa uguale all’ordinata, segue che

Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica

Poi si ricavano facilmente che i fuochi hanno coordinate

Studenti/matematica
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Riferendoci, poi, alla definizione di luogo dell'iperbole, preso un punto Studenti/matematica della curva si ha

Studenti/matematica

da cui

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si perviene infine alla equazione

Studenti/matematica

Come detto in precedenza, la rotazione di 45 gradi può essere anche fatta in senso orario, per cui in questo caso i rami dell’iperbole vengono a trovarsi nel secondo e quarto quadrante. Analoghi calcoli fatti fin qui possono condurci a definire che i fuochi saranno

Studenti/matematica
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l'equazione sarà in questo caso

Studenti/matematica
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In definitiva l’equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti é un’equazione del tipo

Studenti/matematica
1

con Studenti/matematica

Se Studenti/matematica si ha

Studenti/matematica

che significa che gli asintoti sono Studenti/matematica e Studenti/matematica e l’iperbole é ridotta alla unione dei due assi coordinati.

Non essendoci in questa equazione alcun punto di ascissa nulla la (1) può essere scritta

Studenti/matematica

conosciuta come equazione della proporzionalità inversa.

Esempio

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti passante per il punto Studenti/matematica. Individuare i suoi semiassi, la semidistanza focale, le coordinate dei vertici e dei fuochi.

Dalla traccia si può dedurre con il tipo di curva da studiare é l’equazione

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e l'appartenenza del punto Studenti/matematica alla curva conduce alla determinazione di Studenti/matematica infatti:

Studenti/matematica
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quindi l’equazione sarà

Studenti/matematica

L’iperbole si trova nel secondo e quarto quadrante.

Da quanto visto in precedenza, abbiamo

Studenti/matematica
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che rappresenta il semiasse trasverso e non trasverso.

La semidistanza focale é

Studenti/matematica
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I fuochi sono

Studenti/matematica
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Studenti/matematica
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Troviamo ora i vertici, per fare ciò dobbiamo intersecare la curva con la bisettrice del secondo e quarto quadrante (Studenti/matematica):

Studenti/matematica
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Le coordinate dei vertici sono:

Studenti/matematica
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Avendo calcolato tutti gli elementi possiamo anche tracciare il grafico dell’iperbole

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