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L'equazione della retta: forma implicita

In altri moduli abbiamo visto che le rette parallele agli assi, gli assi stessi o la retta per l’origine si esprimono attraverso equazioni di primo grado in Studenti/matematica e Studenti/matematica o solo in una variabile, ora trattiamo la più generale equazione della retta in forma lineare del tipo:

Studenti/matematica
1

espressione che consente di rappresentare una qualsiesi retta nelle variabili Studenti/matematica e Studenti/matematica, al variare dei coefficienti Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Osserviamo che si presentano vari casi in funzione dei valori dei coefficienti:

  1. caso in cui Studenti/matematica sono Studenti/matematica

    la (1) si presenta in forma completa, risolta rispetto alla Studenti/matematica abbiamo:

    Studenti/matematica
    2

    la retta ha coefficiente angolare Studenti/matematica e ordinata all'origine Studenti/matematica

    Si ricorda che l'ordinata all’origine é l'ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse Studenti/matematica. La (2) può anche essere scritta come

    Studenti/matematica

    che é l’equazione della retta in forma esplicita e rappresenta una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante per l'origine

    Studenti/matematica
  2. caso in cui Studenti/matematica e Studenti/matematica Studenti/matematica e Studenti/matematica

    la (1) si presenta nella forma:

    Studenti/matematica

    che è l’equazione di una retta passante per l’origine (Studenti/matematica) e avente coefficiente angolare Studenti/matematica. Essendo Studenti/matematica la retta non coincide con nessuno degli assi cartesiani.

    Studenti/matematica
  3. caso in cui Studenti/matematica e Studenti/matematica, Studenti/matematica qualsiasi

    L’equazione (1) diventa allora

    Studenti/matematica

    quindi

    Studenti/matematica

    che é l’equazione di una retta parallela all’asse Studenti/matematica e, se Studenti/matematica é proprio l’asse Studenti/matematica.

    Studenti/matematica
  4. caso in cui Studenti/matematica e Studenti/matematica, Studenti/matematica qualsiasi

    L’equazione (1) é allora

    Studenti/matematica

    quindi

    Studenti/matematica

    é questa l’equazione di una retta parallela all’asse Studenti/matematica e, se Studenti/matematica é proprio l’asse Studenti/matematica.

    Studenti/matematica
  5. caso in cui Studenti/matematica e Studenti/matematica, Studenti/matematica

    L’equazione (1) non ha rappresentazione grafica

  6. caso in cui Studenti/matematica e Studenti/matematica, Studenti/matematica

    L’equazione (1) diventa una identità Studenti/matematica, essa é verificata da una qualsiasi coppia di numeri reali e non rappresenta una retta.