In altri moduli abbiamo visto che le rette parallele agli assi, gli assi stessi o la retta per l’origine si esprimono attraverso equazioni di primo grado in e o solo in una variabile, ora trattiamo la più generale equazione della retta in forma lineare del tipo:

espressione che consente di rappresentare una qualsiesi retta nelle variabili e , al variare dei coefficienti , e .

Osserviamo che si presentano vari casi in funzione dei valori dei coefficienti:

1. caso in cui sono

   la (1) si presenta in forma completa, risolta rispetto alla abbiamo:

   

   la retta ha coefficiente angolare e ordinata all'origine

   Si ricorda che l'ordinata all’origine é l'ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse . La (2) può anche essere scritta come

   

   che é l’equazione della retta in forma esplicita e rappresenta una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante per l'origine

   

2. caso in cui e e

   la (1) si presenta nella forma:

   

   che è l’equazione di una retta passante per l’origine () e avente coefficiente angolare . Essendo la retta non coincide con nessuno degli assi cartesiani.

   

3. caso in cui e , qualsiasi

   L’equazione (1) diventa allora

   

   quindi

   

   che é l’equazione di una retta parallela all’asse e, se é proprio l’asse .

   

4. caso in cui e , qualsiasi

   L’equazione (1) é allora

   

   quindi

   

   é questa l’equazione di una retta parallela all’asse e, se é proprio l’asse .

   

5. caso in cui e ,

   L’equazione (1) non ha rappresentazione grafica

6. caso in cui e ,

   L’equazione (1) diventa una identità , essa é verificata da una qualsiasi coppia di numeri reali e non rappresenta una retta.