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L'equazione della circonferenza

Obiettivo di questo modulo è quello di giungere all’equazione della circonferenza. Iniziamo con il ricordare che la circonferenza è il luogo di punti Studenti/matematica del piano la cui distanza da un punto fisso Studenti/matematica, detto centro, é costante ed uguale ad Studenti/matematica.

La circonferenza nel piano é individuata quando si conoscono le coordinate del centro Studenti/matematica e la misura del raggio Studenti/matematica. Trovando il luogo dei punti Studenti/matematica la cui distanza misura Studenti/matematica da Studenti/matematica otteniamo l’equazione della circonferenza.

Studenti/matematica

Utilizzando la formula per il calcolo della distanza tra i due punti, calcoliamo la misura del segmento Studenti/matematica, che risulta essere anche il raggio Studenti/matematica, come

Studenti/matematica

elevando al quadrato i due membri

Studenti/matematica
1

In particolare se il centro Studenti/matematica coicide con l’origine delle coordinate la (1) diventa

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Sviluppiamo ora la (1)

Studenti/matematica

ponendo

Studenti/matematica
2

otteniamo

Studenti/matematica
3

Questa é l’equazione della circonferenza in forma canonica o normale, manca del termine rettangolare Studenti/matematica, ed i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali ad 1.

Ricaviamo il centro Studenti/matematica dalle prime due relazioni della (2)

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Dalla terza delle (2) ricaviamo invece il raggio Studenti/matematica

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Da quanto appena detto deduciamo che l'equazione (3) rappresenta una circonferenza di centro Studenti/matematica e raggio Studenti/matematica con la condizione

Studenti/matematica

Pertanto analizziamo adesso i casi che si possono presentere per tale disequazione.

  1. se Studenti/matematica la (3) é una circonferenza reale

  2. se Studenti/matematica la (3) é una circonferenza (degenere) di raggio nullo, in quanto ridotta al solo centro Studenti/matematica

  3. se Studenti/matematica la (3) non é una circonferenza reale

Si noti ancora che se Studenti/matematica la (3) diventa

Studenti/matematica

cioè la circonferenza passa per l’origine degli assi, in quanto il punto Studenti/matematica soddisfa l’equazione.