Obiettivo di questo modulo è quello di giungere all’equazione della circonferenza. Iniziamo con il ricordare che la circonferenza è il luogo di punti del piano la cui distanza da un punto fisso , detto centro, é costante ed uguale ad .

La circonferenza nel piano é individuata quando si conoscono le coordinate del centro e la misura del raggio . Trovando il luogo dei punti la cui distanza misura da otteniamo l’equazione della circonferenza.

Utilizzando la formula per il calcolo della distanza tra i due punti, calcoliamo la misura del segmento , che risulta essere anche il raggio , come

elevando al quadrato i due membri

In particolare se il centro coicide con l’origine delle coordinate la (1) diventa

Sviluppiamo ora la (1)

ponendo

otteniamo

Questa é l’equazione della circonferenza in forma canonica o normale, manca del termine rettangolare , ed i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali ad 1.

Ricaviamo il centro dalle prime due relazioni della (2)

Dalla terza delle (2) ricaviamo invece il raggio

da cui

Da quanto appena detto deduciamo che l'equazione (3) rappresenta una circonferenza di centro e raggio con la condizione

Pertanto analizziamo adesso i casi che si possono presentere per tale disequazione.

1. se la (3) é una circonferenza reale

2. se la (3) é una circonferenza (degenere) di raggio nullo, in quanto ridotta al solo centro

3. se la (3) non é una circonferenza reale

Si noti ancora che se la (3) diventa

cioè la circonferenza passa per l’origine degli assi, in quanto il punto soddisfa l’equazione.