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Inversa di una matrice

Per poter costruire l’inversa di una matrice quadrata Studenti/matematica di ordine Studenti/matematica è necessario definire il complemento algebrico del generico elemento Studenti/matematica della matrice.

Si definisce complemento algebrico dell’elemento Studenti/matematica della matrice quadrata Studenti/matematica di ordine Studenti/matematica, e si indica con Studenti/matematica, il determinante della matrice Studenti/matematica di ordine Studenti/matematica che si ottiene da Studenti/matematica sopprimendo la Studenti/matematica riga e la Studenti/matematica colonna e cambiando di segno se Studenti/matematica è dispari.

In formule:

Studenti/matematica
1

Vediamo adesso i vari casi che si presentano in funzione delle dimensioni della matrice.

Assegnata la matrice quadrata Studenti/matematica di ordine 2

Studenti/matematica

i complementi algebrici degli elementi di Studenti/matematica sono dati da:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 1

Assegnata la matrice

Studenti/matematica

i suoi complementi algebrici sono

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Assegnata la matrice Studenti/matematica quadrata di ordine 3

Studenti/matematica

i complementi algebrici sono dati da:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 2

Assegnata la matrice

Studenti/matematica

i suoi complementi algebrici sono

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Assegnata una matrice quadrata Studenti/matematica di ordine Studenti/matematica il cui determinante sia diverso da zero, si definisce inversa di Studenti/matematica, e si indica con Studenti/matematica, la matrice di ordine Studenti/matematica tale che

Studenti/matematica

dove Studenti/matematica indica la matrice unità di ordine Studenti/matematica.

Se tale matrice inversa esiste, la matrice Studenti/matematica si dice invertibile.

In generale, per costruire la matrice inversa di Studenti/matematica è necessario percorrere i seguenti step:

  1. verificare che il determinante della matrice Studenti/matematica sia diverso da zero

  2. formare una matrice che abbia per elementi i complementi algebrici Studenti/matematica degli elementi Studenti/matematica

  3. considerare la trasposta della matrice ottenuta

  4. dividere ciascun elemento della matrice così ottenuta per il determinante di Studenti/matematica

Anche per il calcolo dell’inversa esaminiamo i diversi casi a seconda della dimensione della matrice.

Assegnata una matrice quadrata di ordine 2

Studenti/matematica

con determinante non nullo, la sua inversa è data da:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 3

Assegnata la matrice

Studenti/matematica

per calcolare la sua inversa seguiamo i 4 passi sopra indicati.

Verifichiamo che il determinante è diverso da zero.

Studenti/matematica

quindi proseguiamo calcolando la matrice dei complementi algebrici

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

e poi ne facciamo la trasposta e dividiamo ciascun elemento per il determinante

Studenti/matematica

Analogamente al processo illustrato prima per il caso di Studenti/matematica, assegnata una matrice quadrata Studenti/matematica di ordine 3, con determinante non nullo, la sua inversa è data da

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 4

Assegnata la matrice

Studenti/matematica

per calcolare la sua inversa si ha:

Studenti/matematica

la matrice dei complementi algebrici risulta essere

Studenti/matematica

per cui dividendo ciascun elemento per il determinante -1 otteniamo Studenti/matematica

Studenti/matematica