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Intersezioni fra retta e circonferenza

Un problema molto frequente è quello di individuare le eventuali intersezioni tra diverse curve. In questo caso studiamo l’intersezione fra retta e circonferenza.

Le intersezioni fra una retta ed una circonferenza vengono individuate attraverso un sistema di secondo grado formato dalle rispettive equazioni:

Studenti/matematica
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Per risolvere questo sistema di può ricavare l’espressione della Studenti/matematica dalla seconda equazione e sostituirla nella prima. Si otterrà così una equazione di secondo grado. Chiamiamo questo determinante Studenti/matematica e vediamo quali risultati otteniamo in termini di intersezione tra la retta e la circonferenza a seconda delle soluzioni che il sistema ammette.

  1. se il Studenti/matematica, il sistema ammetterà due soluzioni reali e distinte per cui la retta é secante (tocca la circonferenza in due punti)

    Studenti/matematica
  2. se Studenti/matematica il sistema ammetterà due soluzioni reali e coincidenti, in questo caso la retta é tangente (tocca la circonferenza in un solo punto)

    Studenti/matematica
  3. se Studenti/matematica il sistema non ha soluzioni reali, quindi la retta é esterna (non tocca mai la circonferenza)

    Studenti/matematica

Esempio 1

Date la retta di equazione

Studenti/matematica

e la circonferenza di equazione

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verifichiamo se la retta interseca la circonferenza. Riscriviamo il sistema (1) per il nostro caso

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risolviamolo scrivendo l’equazione della retta in forma esplicita:

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e sostituendo tale espressione nella equazione della circonferenza che é la prima equazione del sistema otteniamo:

Studenti/matematica

risolviamo questa equazione e troviamo i due valori della Studenti/matematica

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che andremo a sostituire nella (2) così da ottenere i due punti di intersezione tra la retta e la circonferenza

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questo il grafico delle due curve

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Esempio 2

Verificare se la retta

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è secante o tangente alla circonferenza di equazione

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Consideriamo il sistema tra le due equazioni date

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e risolviamolo sostituendo l’espressione della Studenti/matematica della seconda equazione nella prima. Risolvendo poi rispetto alla Studenti/matematica otteniamo l’equazione di secondo grado

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il cui discriminante si verifica facilmente essere nullo. Dunque, il sistema (3) ammette due soluzioni reali e coincidenti Studenti/matematica. Sostituendo nella equazione della retta otteniamo la Studenti/matematica.

Concludiamo dicendo che essendoci un solo punto Studenti/matematica;Studenti/matematica di intersezione tra la retta e la circonferenza, la retta è tangente e non secante.

Il grafico delle due curve ci conferma il risultato

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Il problema di individuare le intersezioni fra due circonferenze si esplica nella stessa maniera di come si risolve l’intersezione fra retta e circonferenza ossia, algebricamente, con un sistema formato dalle due equazioni e dalle soluzioni connesse alla risoluzione del sistema

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ossia nel sistema equivalente che si ottiene sostituendo alla seconda equazione una combinazione lineare delle due equazioni, in particolare sostituendola con la differenza delle due equazioni di partenza:

Studenti/matematica
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In questo modo abbiamo attenuto un’equazione di primo grado, che rappresenta una retta che chiamiamo asse radicale. Ad esso appartengono i punti di intersezione delle due circonferenze, se esse sono secanti, e vengono detti punti base.

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Se, invece, le circonferenze sono tangenti l’asse radicale risulta essere proprio la tangente comune. Ricordiamo che l'asse radicale é perpendicolare alla congiungente i centri delle circonferenze.

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