Un problema molto frequente è quello di individuare le eventuali intersezioni tra diverse curve. In questo caso studiamo l’intersezione fra retta e circonferenza.
Le intersezioni fra una retta ed una circonferenza vengono individuate attraverso un sistema di secondo grado formato dalle rispettive equazioni:
Per risolvere questo sistema di può ricavare l’espressione della 
dalla seconda equazione e sostituirla nella prima. Si otterrà così una equazione di secondo grado. Chiamiamo questo determinante 
e vediamo quali risultati otteniamo in termini di intersezione tra la retta e la circonferenza a seconda delle soluzioni che il sistema ammette.
-
se il
, il sistema ammetterà due soluzioni reali e distinte per cui la retta é secante (tocca la circonferenza in due punti)
-
se
il sistema ammetterà due soluzioni reali e coincidenti, in questo caso la retta é tangente (tocca la circonferenza in un solo punto)
-
se
il sistema non ha soluzioni reali, quindi la retta é esterna (non tocca mai la circonferenza)
Esempio 1
Date la retta di equazione
e la circonferenza di equazione
verifichiamo se la retta interseca la circonferenza. Riscriviamo il sistema (1) per il nostro caso
risolviamolo scrivendo l’equazione della retta in forma esplicita:
e sostituendo tale espressione nella equazione della circonferenza che é la prima equazione del sistema otteniamo:
risolviamo questa equazione e troviamo i due valori della 
che andremo a sostituire nella (2) così da ottenere i due punti di intersezione tra la retta e la circonferenza
questo il grafico delle due curve
Esempio 2
Verificare se la retta
è secante o tangente alla circonferenza di equazione
Consideriamo il sistema tra le due equazioni date
e risolviamolo sostituendo l’espressione della 
della seconda equazione nella prima. Risolvendo poi rispetto alla 
otteniamo l’equazione di secondo grado
il cui discriminante si verifica facilmente essere nullo. Dunque, il sistema (3) ammette due soluzioni reali e coincidenti 
. Sostituendo nella equazione della retta otteniamo la 
.
Concludiamo dicendo che essendoci un solo punto 
;
di intersezione tra la retta e la circonferenza, la retta è tangente e non secante.
Il grafico delle due curve ci conferma il risultato
Il problema di individuare le intersezioni fra due circonferenze si esplica nella stessa maniera di come si risolve l’intersezione fra retta e circonferenza ossia, algebricamente, con un sistema formato dalle due equazioni e dalle soluzioni connesse alla risoluzione del sistema
ossia nel sistema equivalente che si ottiene sostituendo alla seconda equazione una combinazione lineare delle due equazioni, in particolare sostituendola con la differenza delle due equazioni di partenza:
In questo modo abbiamo attenuto un’equazione di primo grado, che rappresenta una retta che chiamiamo asse radicale. Ad esso appartengono i punti di intersezione delle due circonferenze, se esse sono secanti, e vengono detti punti base.
Se, invece, le circonferenze sono tangenti l’asse radicale risulta essere proprio la tangente comune. Ricordiamo che l'asse radicale é perpendicolare alla congiungente i centri delle circonferenze.
