Intersezione e parallelismo

Siano e due rette di equazione

Possono verificarsi tre casi:

1. le rette sono incidenti, ossia si intersecano in un punto

2. le rette sono coincidenti

3. le rette sono parallele e distinte

Vediamo come determinare le condizioni sui coefficienti , e che determinano questi casi.

Consideriamo il sistema

può accadere che

• il sistema é determinato la soluzione del sistema individua un punto che é il punto di intersezione delle rette e quindi esse sono incidenti (caso 1)

• il sistema é indeterminato (le due equazioni esprimono la stessa condizione) le rette e coincidono (caso 2)

• il sistema é impossibile (non ammette soluzioni) le rette e sono parallele e distinte (caso 3)

Vediamo adesso le tre circostanze appena illustrate come corrispondono a precise condizioni sui coefficienti delle equazioni delle dure rette.

In particolare, ricordiamo che la soluzione del sistema (1) si può riportare al calcolo dell’inversa della matrice dei coefficienti

e quindi, affinché il sistema abbia una ed una sola soluzione (il che equivale a dire che le due rette hanno un solo punto in comune), tale determinante deve essere diverso da zero, ossia

Quando e sono incidenti, vuol dire che è verificata la condizione (2) per cui possiamo scrivere

Invece, quando il determinante si annulla, ossia quando

abbiamo

che equivale a dire che esiste un valore tale che

ora, si possono verificare due ulteriori condizioni:

per cui il sistema (1) diventa

ma questo significa dire che le due equazioni del sistema rappresentano la stessa retta, quindi si dice che sono coincidenti.

Oppure può aversi che

ma questo significa che il sistema diventa

che significa dire i coefficienti delle e sono proporzionali indipendentemente dai valori di e , quindi il sistema risulta impossibile e concludiamo dicendo che le due rette sono parallele ma non coincidenti (non hanno alcun punto in comune).

Osserviamo ora, che se le rette e sono scritte in forma esplicita:

i tre casi sopra illustrati si riconducono a

• le rette sono incidenti quando

• sono parallele e distinte se e

• sono coincidenti quando e

Perpendicolarità

Consideriamo la forma esplicita delle due rette r e s:

cerchiamo la condizione da imporre affinché esse siano perpendicolari. Come fatto per il parallelismo nel paragrafo precedente, vogliamo trovare una relazione tra i coefficienti angolari delle due rette, e rispettivamente.

Facciamo l’ipotesi che le due rette siano perpendicolari, quindi lo saranno anche le loro rispettive parallele che passano per l’origine degli assi, ossia le due rette

prendiamo due punti e appartenenti alle due rette ed aventi ascissa unitaria, cioé

come mostrato in figura

Il triangolo é rettangolo in , per il teorema di Pitagora abbiamo

ma per costruzione abbiamo anche che

quindi possiamo scrivere

La (5) é la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità fra due rette, ovviamente se una fra e é parallela ad un asse l’altra sarà parallela all'altro asse in particolare l’asse () ha coefficiente angolare nullo l’altro asse () non ha coefficiente angolare o meglio .

Inoltre, aggiungiamo che se é una retta di equazione

tutte le rette che hanno equazione

sono perpendicolari a .

Se le rette sono nella forma:

la condizione di perpendicolarità sarà

da cui si ha

quindi partendo dall’equazione di una retta in forma implicita per individuare una retta ad essa perpendicolare é sufficiente scambiare i coefficienti di e e cambiare il loro segno e poi scegliere un termine noto a piacere , in altre parole, la perpendicolare ha equazione