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Integrazione per sostituzione

Tra le regole e proprietà che si applicano per la risoluzione degli integrali utilizziamo ora l’integrazione per sostituzione che sfrutta le regole della derivazione delle funzioni composte e inverse. Procediamo partendo dal calcolo dell’integrale e quindi alla ricerca della primitiva di Studenti/matematica.

Scegliamo una funzione derivabile con derivata continua

Studenti/matematica
1

e la sua inversa

Studenti/matematica
2

dobbiamo inoltre sostituire al differenziale Studenti/matematica della variabile indipendente Studenti/matematica il differenziale di Studenti/matematica, se ora differenziamo la (1) otteniamo:

Studenti/matematica
3

sostituendo la (1) e la (3) nell'integrale avremo

Studenti/matematica
4

che potrà presentarsi di più facile risoluzione.

Ora se Studenti/matematica é una primitiva dell' integrale (4) sarà

Studenti/matematica

quindi Studenti/matematica sarà una delle primitive di Studenti/matematica, tralasciamo i passaggi per la verifica scriviamo solo che:

Studenti/matematica

avendo applicato la regola della derivazione delle funzioni inverse.