Introduciamo ora una regola, detta di integrazione per parti, che rappresenta uno dei principali metodi per la risoluzione di integrali. Praticamente questa regola ci consente, sotto la condizione che la funzione integranda sia scomponibile nel prodotto di due funzioni, di calcolare l’integrale assegnato in termini di un altro integrale, solitamente più facile.

Consideriamo due funzioni continue e derivabili e e facciamo il prodotto , ora calcoliamo il differenziale

quindi

sappiamo che, tralasciando una costante da aggiungere, abbiamo

da cui, se integriamo i due membri della (1) otteniamo

cioé

La relazione (2) é la regola della integrazione per parti.

Esempio 1

Sia dato da risolvere il seguente integrale

possiamo subito notare che l’integrando è il prodotto di due funzioni

dalla possiamo facilmente ricavare la

e poi applicando la regola di integrazione per parti (2) possiamo scrivere