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Integrazione per parti

Introduciamo ora una regola, detta di integrazione per parti, che rappresenta uno dei principali metodi per la risoluzione di integrali. Praticamente questa regola ci consente, sotto la condizione che la funzione integranda sia scomponibile nel prodotto di due funzioni, di calcolare l’integrale assegnato in termini di un altro integrale, solitamente più facile.

Consideriamo due funzioni continue e derivabili Studenti/matematica e Studenti/matematica e facciamo il prodotto Studenti/matematica, ora calcoliamo il differenziale

Studenti/matematica
1

quindi

Studenti/matematica

sappiamo che, tralasciando una costante da aggiungere, abbiamo

Studenti/matematica

da cui, se integriamo i due membri della (1) otteniamo

Studenti/matematica

cioé

Studenti/matematica
2

La relazione (2) é la regola della integrazione per parti.

Esempio 1

Sia dato da risolvere il seguente integrale

Studenti/matematica

possiamo subito notare che l’integrando è il prodotto di due funzioni

Studenti/matematica
Studenti/matematica

dalla Studenti/matematica possiamo facilmente ricavare la Studenti/matematica

Studenti/matematica

e poi applicando la regola di integrazione per parti (2) possiamo scrivere

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica