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Integrazione di funzioni razionali

Un caso importante di integrazione é costituito dalla integrazione di funzioni razionali.

Consideriamo ad esempio la funzione

Studenti/matematica
1

dove Studenti/matematica e Studenti/matematica sono polinomi in Studenti/matematica con Studenti/matematica di grado 2 o 1, ed il relativo integrale

Studenti/matematica
2

Risolvere l'integrale (2) significa provare a scomporre la funzione (1) nella somma di funzioni di facile calcolo.

Innanzitutto se ad esempio Studenti/matematica é il grado del polinomio Studenti/matematica ed é maggiore o uguale al grado Studenti/matematica del polinomio Studenti/matematica possiamo dividere i polinomi, otterremo pertanto

Studenti/matematica

con Studenti/matematica di grado Studenti/matematica e Studenti/matematica di grado inferiore ad Studenti/matematica, in tal caso possiamo riscrivere la (2) così:

Studenti/matematica

ed essendo Studenti/matematica un polinomio é risolvibile il primo integrale, quindi dobbiamo occuparci dell'integrale

Studenti/matematica
3

A questo punto possono verificari diverse condizioni, come descritto di seguito.

Caso 1) Il polinomio H(x) è di primo grado

Se Studenti/matematica é di primo grado abbiamo Studenti/matematica e poiché Studenti/matematica ha grado inferiore ad Studenti/matematica, ne risulta che può essere solo una costante, diciamo Studenti/matematica. Quindi

Studenti/matematica

che è di facile risoluzione, infatti

Studenti/matematica

Caso 2) Il polinomio H(x) è di secondo grado

Se Studenti/matematica é quindi un polinomio di secondo grado, il che implica che Studenti/matematica, dovendo essere di grado inferiore ad Studenti/matematica, é di grado Studenti/matematica.

Pertanto, possiamo scrivere

Studenti/matematica

A questo punto si possono verificare diversi casi.

  1. Se Studenti/matematica risulta essere la derivata del denominatore per la regola 2 della tabella degli integrali immediati abbiamo:

    Studenti/matematica
    4

    Nel caso ciò non accada possono verificarsi tre possibilità:

  2. Se Studenti/matematica

    il trinomio possiede due zeri reali Studenti/matematica e Studenti/matematica e può scomporsi in Studenti/matematica allora l'integrale (4) può essere scritto così:

    Studenti/matematica
    5s

    poniamo ora

    Studenti/matematica

    trovati i valori delle costanti con semplici passaggi algebrici l'integrale é risolto e la soluzione sarà del tipo:

    Studenti/matematica
  3. Se Studenti/matematica allora può essere che il numeratore di Studenti/matematica é uguale ad 1, nel qual caso esso l’integrale diventa

    Studenti/matematica

    essendo Studenti/matematica il trinomio a denominatore ha due radici complesse coniugate, chiamiamole Studenti/matematica e Studenti/matematica che ci consentono di scrivere

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    quindi andando a sostituire il trinomio a denominatore con quanto appena scritto, otteniamo

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
  4. Se Studenti/matematica quindi Studenti/matematica é la radice doppia del trinomio. Avremo, pertanto, al denominatore il termine Studenti/matematica e l’integrale si presenta così

    Studenti/matematica

    che é risolto immediatamente sia se il numeratore é una costante sia se il numeratore é la derivata del denominatore.

    Se il numeratore è un polinomio di primo grado Studenti/matematica e non è la derivata del denominatore, può essere cambiato nella somma di una costante idonea e della derivata del denominatore e così risolvibile.