Un caso importante di integrazione é costituito dalla integrazione di funzioni razionali.
Consideriamo ad esempio la funzione
dove 
e 
sono polinomi in 
con 
di grado 2 o 1, ed il relativo integrale
Risolvere l'integrale (2) significa provare a scomporre la funzione (1) nella somma di funzioni di facile calcolo.
Innanzitutto se ad esempio 
é il grado del polinomio 
ed é maggiore o uguale al grado 
del polinomio 
possiamo dividere i polinomi, otterremo pertanto
con 
di grado 
e 
di grado inferiore ad 
, in tal caso possiamo riscrivere la (2) così:
ed essendo 
un polinomio é risolvibile il primo integrale, quindi dobbiamo occuparci dell'integrale
A questo punto possono verificari diverse condizioni, come descritto di seguito.
Caso 1) Il polinomio H(x) è di primo grado
Se 
é di primo grado abbiamo 
e poiché 
ha grado inferiore ad 
, ne risulta che può essere solo una costante, diciamo 
. Quindi
che è di facile risoluzione, infatti
Caso 2) Il polinomio H(x) è di secondo grado
Se 
é quindi un polinomio di secondo grado, il che implica che 
, dovendo essere di grado inferiore ad 
, é di grado 
.
Pertanto, possiamo scrivere
A questo punto si possono verificare diversi casi.
-
Se
risulta essere la derivata del denominatore per la regola 2 della tabella degli integrali immediati abbiamo:
4 Nel caso ciò non accada possono verificarsi tre possibilità:
-
Se
il trinomio possiede due zeri reali
e 
e può scomporsi in 
allora l'integrale (4) può essere scritto così:
5s poniamo ora
trovati i valori delle costanti con semplici passaggi algebrici l'integrale é risolto e la soluzione sarà del tipo:
-
Se
allora può essere che il numeratore di 
é uguale ad 1, nel qual caso esso l’integrale diventa
essendo
il trinomio a denominatore ha due radici complesse coniugate, chiamiamole 
e 
che ci consentono di scrivere
quindi andando a sostituire il trinomio a denominatore con quanto appena scritto, otteniamo
-
Se
quindi 
é la radice doppia del trinomio. Avremo, pertanto, al denominatore il termine 
e l’integrale si presenta così
che é risolto immediatamente sia se il numeratore é una costante sia se il numeratore é la derivata del denominatore.
Se il numeratore è un polinomio di primo grado
e non è la derivata del denominatore, può essere cambiato nella somma di una costante idonea e della derivata del denominatore e così risolvibile.