Proprietà dell’integrale definito

Riprendiamo la definizione dell’integrale definito. Ricordiamo innanzitutto le formule

che esprimono le somme delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti, chiamate anche somme integrali per difetto e per eccesso, relative all'insieme che viene preso in esame. Si è detto che l’area sotto la curva, ossia

è data dal limite delle due successioni, al crescere di ,

Pertanto, possiamo anche scrivere la seguente formula

Vogliamo dare una definizione più generale di integrale definito sia quindi una funzione continua in un intevallo .

Suddividiamo l'intervallo in intervalli di ampiezza qualsiasi senza specificare il minimo ed il massimo . Scegliamo in ogni intervallo dei punti ed indichiamo con la generica differenza positiva, indichiamo poi con γ il massimo dell'insieme di tali differenze, cioé

consideriamo la somma

con generico punto del generico intervallo e il corrispondente valore di .

La somma (2) viene detta somma integrale generalizzata ed il limite:

La differenza tra la (1) e la (3) sta nel fatto che nel primo caso viene difficile calcolare le , ,…, e le , ,…, mentre risulta più facile calcolare alcuni punti di , quelli che servono per calcolare le .

Riportiamo adesso alcune proprietà fondamentali dell’integrale definito.

Precisiamo soltanto che, posta la condizione che la funzione sia continua in ognuno degli intervalli considerati, la proprietà additiva è valida sia se il generico punto è interno ad sia quando esso risulta esterno all’intervallo.

Significato geometrico dell’integrale definito

Soffermiamoci ora sul significato geometrico dell’integrale definito.

Ricordiamo che abbiamo iniziato a parlare di questo ente riferendoci ad esso come area di un rettangoloide di base e altezza , dove è una funzione continua non negativa in . Quindi l’area del rettangoloide (trapezoide) é

Se ora in gli elementi della somma (3) saranno pertanto

ma l'integrale di cui stiamo discutendo esprime un'area, che deve pertanto essere sempre positiva, cioè l'area del rettangoloide. Quindi in questo caso dobbiamo cambiare il segno e scrivere quindi

Consideriamo ora la funzione il cui grafico é quello in figura

Sulla funzione continua in non ipotizziamo nulla sul suo segno, ma se nell’intervallo considerato la cambia di segno più volte, nell’esempio in figura ciò accade nei punti e di , allora, considerata la proprietà additiva dell’integrale, possiamo scrivere

e per il significato geometrico dobbiamo cambiare i segni alle aree con valore negati, per cui abbiamo:

In conlcusione, l’integale definito rappresenta quindi la somma dei rettangoloidi , , presi con il segno positivo o negativo a seconda che essi sono situati rispettivamente al di sopra o al di sotto dell’asse della . Se vogliamo invece calcolare l’area “totale” dei rettangoloidi sommeremo i valori assoluti degli integrali relativi ai singoli rettangoloidi (trapezoidi).