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Integrale definito: proprietà e significato geometrico

In questo modulo introduciamo alcune proprietà dell’integrale definito e forniremo una sua interpretazione dal punto di vista geometrico.

Proprietà dell’integrale definito

Riprendiamo la definizione dell’integrale definito. Ricordiamo innanzitutto le formule

Studenti/matematica
Studenti/matematica

che esprimono le somme delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti, chiamate anche somme integrali per difetto e per eccesso, relative all'insieme che viene preso in esame. Si è detto che l’area sotto la curva, ossia

Studenti/matematica

è data dal limite delle due successioni, al crescere di Studenti/matematica,

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Pertanto, possiamo anche scrivere la seguente formula

Studenti/matematica
1

Vogliamo dare una definizione più generale di integrale definito sia quindi Studenti/matematica una funzione continua in un intevallo Studenti/matematica.

Suddividiamo l'intervallo Studenti/matematica in Studenti/matematica intervalli di ampiezza qualsiasi senza specificare il minimo Studenti/matematica ed il massimo Studenti/matematica. Scegliamo in ogni intervallo dei punti Studenti/matematica ed indichiamo con Studenti/matematica la generica differenza positiva, indichiamo poi con γ il massimo dell'insieme di tali differenze, cioé

Studenti/matematica

consideriamo la somma

Studenti/matematica
2

con Studenti/matematica generico punto del generico intervallo Studenti/matematica e Studenti/matematica il corrispondente valore di Studenti/matematica.

La somma (2) viene detta somma integrale generalizzata ed il limite:

Studenti/matematica
3

La differenza tra la (1) e la (3) sta nel fatto che nel primo caso viene difficile calcolare le Studenti/matematica, Studenti/matematica,…,Studenti/matematica e le Studenti/matematica, Studenti/matematica,…, Studenti/matematica mentre risulta più facile calcolare alcuni punti di Studenti/matematica, quelli che servono per calcolare le Studenti/matematica.

Riportiamo adesso alcune proprietà fondamentali dell’integrale definito.

Studenti/matematica

Precisiamo soltanto che, posta la condizione che la funzione sia continua in ognuno degli intervalli considerati, la proprietà additiva è valida sia se il generico punto Studenti/matematica è interno ad Studenti/matematica sia quando esso risulta esterno all’intervallo.

Significato geometrico dell’integrale definito

Soffermiamoci ora sul significato geometrico dell’integrale definito.

Ricordiamo che abbiamo iniziato a parlare di questo ente riferendoci ad esso come area di un rettangoloide di base Studenti/matematica e altezza Studenti/matematica, dove Studenti/matematica è una funzione continua non negativa in Studenti/matematica. Quindi l’area del rettangoloide (trapezoide) é

Studenti/matematica

Se ora Studenti/matematica in Studenti/matematica gli elementi della somma (3) Studenti/matematica sarannoStudenti/matematica pertanto

Studenti/matematica

ma l'integrale di cui stiamo discutendo esprime un'area, che deve pertanto essere sempre positiva, cioè l'area del rettangoloide. Quindi in questo caso dobbiamo cambiare il segno e scrivere quindi

Studenti/matematica

Consideriamo ora la funzione il cui grafico é quello in figura

Studenti/matematica

Sulla funzione Studenti/matematica continua in Studenti/matematica non ipotizziamo nulla sul suo segno, ma se nell’intervallo considerato la Studenti/matematica cambia di segno più volte, nell’esempio in figura ciò accade nei punti Studenti/matematica e Studenti/matematica di Studenti/matematica, allora, considerata la proprietà additiva dell’integrale, possiamo scrivere

Studenti/matematica
Studenti/matematica

e per il significato geometrico dobbiamo cambiare i segni alle aree con valore negati, per cui abbiamo:

Studenti/matematica

In conlcusione, l’integale definito rappresenta quindi la somma dei rettangoloidi Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica presi con il segno positivo o negativo a seconda che essi sono situati rispettivamente al di sopra o al di sotto dell’asse della Studenti/matematica. Se vogliamo invece calcolare l’area “totale” dei rettangoloidi sommeremo i valori assoluti degli integrali relativi ai singoli rettangoloidi (trapezoidi).