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Infinitesimi e infiniti

Per la risoluzione di alcune forme indeterminate occorre introdurre le nozioni di infinitesimo ed infinito. Tali nozioni trovano applicazione in diversi settori dell’analisi. Sia Studenti/matematica una funzione definita in un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica privo al più di Studenti/matematica.

Definizione

Si dice che Studenti/matematica é infinitesima, o che é un infinitesimo in Studenti/matematica se

Studenti/matematica

Definizione

Si dice che Studenti/matematica é infinita, o che é un infinito in Studenti/matematica, se

Studenti/matematica

Allo stesso modo, se Studenti/matematica é definita in un insieme illimitato inferiormente (superiormente) e se

Studenti/matematica

si dirà che Studenti/matematica é infinitesima per Studenti/matematica.

Consideriamo ora due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica infinitesime per Studenti/matematica e confrontiamone i valori supponendo che esista, per Studenti/matematica, il limite di Studenti/matematica. Possono verificarsi i casi seguenti:

  1. Se

    Studenti/matematica

    allora Studenti/matematica é infinitesima di ordine superiore rispetto a Studenti/matematica per Studenti/matematica.

  2. Se

    Studenti/matematica

    diremo che Studenti/matematica e Studenti/matematica sono infinitesimi dello stesso ordine per Studenti/matematica.

  3. Se

    Studenti/matematica

    diremo che Studenti/matematica é infinitesimo di ordine superiore rispetto a Studenti/matematica per Studenti/matematica.

Esempio 1

Risulta immediato verificare che le seguenti funzioni sono infinitesime nei valori Studenti/matematica indicati a fianco di ciascuna di esse

Studenti/matematica

Esempio 2

Risulta immediato verificare che le seguenti funzioni sono infinite nei valori Studenti/matematica indicati a fianco di ciascuna di esse

Studenti/matematica

Ordine di un infinitesimo e di un infinito

Siano Studenti/matematica e Studenti/matematica due funzioni infinitesime (infinite) per Studenti/matematica. Se

Studenti/matematica

diremo che Studenti/matematica é un infinitesimo (infinito) di ordine α rispetto all'infinitesimo (infinito) campione Studenti/matematica.

Di norma si assumono come infinitesimi o infiniti campioni quelli indicati alla tabella sottostante

Studenti/matematica

Esempio 3

Consideriamo le due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica definite come

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Si verifica facilmente che entrambe sono infinitesime per il punto Studenti/matematica. Prendiamo in esame il loro rapporto, ossia

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

Concludiamo quindi dicendo che la Studenti/matematica è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a Studenti/matematica.

Esempio 4

Consideriamo le due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica definite come

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Si verifica facilmente che entrambe sono infinite per Studenti/matematica. Prendiamo in esame il loro rapporto, ossia

Studenti/matematica

da cui possiamo dire che Studenti/matematica è un infinito di ordine superiore rispetto a Studenti/matematica.