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Le funzioni secante e cosecante

Consideriamo un angolo di ampiezza Studenti/matematica, ad esso corrispondono i due valori numerici Studenti/matematica e Studenti/matematica. Se Studenti/matematica è possibile calcolare il rapporto Studenti/matematica, analogamente se Studenti/matematica è possibile calcolare il rapporto Studenti/matematica. Poichè anche i reciproci di Studenti/matematica e di Studenti/matematica dipendono da Studenti/matematica, essi definiscono due nuove funzioni: la secante di Studenti/matematica e la cosecante di Studenti/matematica che si indicano con Studenti/matematica e Studenti/matematica

Studenti/matematica
Studenti/matematica

La secante e la cosecante di un angolo possono anche essere definite geometricamente nel piano cartesiano a partire dalla circonferenza goniometrica. Dato un angolo di ampiezza Studenti/matematica, di vertice Studenti/matematica, con un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse e l’altro con la semiretta Studenti/matematica, si consideri la retta Studenti/matematica tangente alla circonferenza goniometrica nel punto Studenti/matematica e siano Studenti/matematica e Studenti/matematica le sue intersezioni con gli assi Studenti/matematica e Studenti/matematica, come mostrato in figura.

Studenti/matematica

L'ascissa del punto Studenti/matematica è la secante di Studenti/matematica, mentre l'ordinata del punto Studenti/matematica è la cosecante di Studenti/matematica.

Come si è detto, le funzioni cosecante e secante non sono definite per ogni numero reale. Infatti, non sono definite per tutti quei valori che rendono nullo il coseno e il seno dell’angolo, rispettivamente. In altre parole, si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Ricordando le proprietà delle funzioni seno e coseno, risulta immediato ricavare le seguenti tabelle di valori noti per la funzione secante e cosecante, rispettivamente

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Dalla definizione geometrica della secante e cosecante, è facile verificare le seguenti proprietà:

  1. la funzione Studenti/matematica, definita per ogni Studenti/matematica, è periodica di periodo Studenti/matematica

  2. essendo la reciproca della funzione coseno, risulta, per ogni Studenti/matematica del dominio Studenti/matematica e Studenti/matematica

  3. la secante è una funzione pari nel suo insieme di definizione, allora il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, come mostra la figura

    Studenti/matematica
  4. la funzione Studenti/matematica, definita per ogni Studenti/matematica, è periodica di periodo Studenti/matematica;

  5. essendo la reciproca della funzione seno, risulta, per ogni Studenti/matematica del dominio Studenti/matematica e Studenti/matematica.

  6. la cosecante è una funzione dispari nel suo insieme di definizione, allora il grafico è simmetrico rispetto all'origine, come mostra la figura

    Studenti/matematica

In sintesi, si ha

per la secante

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

per la cosecante

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 1

Calcolare il valore delle seguenti espressioni

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Utilizzando le proprietà delle funzioni goniometriche fin qui viste, si ottiene

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica