Consideriamo un angolo di ampiezza 
, ad esso corrispondono i due valori numerici 
e 
. Se 
è possibile calcolare il rapporto 
, analogamente se 
è possibile calcolare il rapporto 
. Poichè anche i reciproci di 
e di 
dipendono da 
, essi definiscono due nuove funzioni: la secante di 
e la cosecante di 
che si indicano con 
e 
La secante e la cosecante di un angolo possono anche essere definite geometricamente nel piano cartesiano a partire dalla circonferenza goniometrica. Dato un angolo di ampiezza 
, di vertice 
, con un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse e l’altro con la semiretta 
, si consideri la retta 
tangente alla circonferenza goniometrica nel punto 
e siano 
e 
le sue intersezioni con gli assi 
e 
, come mostrato in figura.
L'ascissa del punto 
è la secante di 
, mentre l'ordinata del punto 
è la cosecante di 
.
Come si è detto, le funzioni cosecante e secante non sono definite per ogni numero reale. Infatti, non sono definite per tutti quei valori che rendono nullo il coseno e il seno dell’angolo, rispettivamente. In altre parole, si ha
Ricordando le proprietà delle funzioni seno e coseno, risulta immediato ricavare le seguenti tabelle di valori noti per la funzione secante e cosecante, rispettivamente
Dalla definizione geometrica della secante e cosecante, è facile verificare le seguenti proprietà:
-
la funzione
, definita per ogni 
, è periodica di periodo 
-
essendo la reciproca della funzione coseno, risulta, per ogni
del dominio 
e 
-
la secante è una funzione pari nel suo insieme di definizione, allora il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, come mostra la figura
-
la funzione
, definita per ogni 
, è periodica di periodo 
; -
essendo la reciproca della funzione seno, risulta, per ogni
del dominio 
e 
. -
la cosecante è una funzione dispari nel suo insieme di definizione, allora il grafico è simmetrico rispetto all'origine, come mostra la figura
In sintesi, si ha
per la secante
per la cosecante
Esempio 1
Calcolare il valore delle seguenti espressioni
Utilizzando le proprietà delle funzioni goniometriche fin qui viste, si ottiene
