Nel modulo dedicato a “La derivata di una funzione”, abbiamo parlato dell’operazione di derivata di una funzione. Ora cerchiamo di risolvere il problema inverso che vedremo essere più complesso ed è il seguente:
Definizione
Data una funzione 
in un intervallo chiuso 
, individuare una funzione 
la cui derivate nell'intervallo medesimo sia 
.
Sinteticamente deve accadere che:
Tutte le funzioni 
che soddifano la condizione (1) sono definite funzioni primitive di 
.
Enunciamo ora qualche proprietà importante delle funzioni primitive.
Definizione 1
Se la funzione 
ammette una funzione primitiva 
, allora ne ammette infinite che scriveremo così
con 
costante arbitraria.
Si ricavano intuitivamente le due seguenti osservazioni:
-
Differendo tutte le primitive
di 
per una costante 
significa dire che esse costituiscono una famiglia di curve piane in numero uguale al valore di 
. -
Tra tutte le primitive
di 
in 
, ne esiste una ed una sola che in un determinato punto 
di 
assume un valore dato 
, essendo
la funzione
é determinata in maniera univoca quindi 
.
L'insieme delle primitive di 
si dice integrale indefinito di 
e si indica con il simbolo
esso va così letto: integrale indefinito di 
in 
.
Il simbolo
é il simbolo di integrazione e 
é chiamata la funzione integranda.
Pertanto, si avrà
Da quanto precedentemente visto possiamo scrivere
Dalla (2) possiamo dire che l’operazione di integrazione indefinita può essere considerata l’operazione inversa della derivazione. Precisiamo che la primitiva 
ammette nell’intervallo 
una derivata ed é unica, viceversa se la funzione integranda 
ammette una primitiva ne ammette infinite a meno di una costante 
.
Quindi ricordiamo che l’operazione di integrazione indefinita associa ad una funzione una classe di funzioni, mentre l’operazione di derivazione ad ogni funzione associa una sola funzione.
A tal proposito possiamo enunciare il seguente teorema
Teorema
Ogni funzione 
continua in 
ammette nell'intervallo dato una funzione primitiva in 
.
Quindi la continuità di una funzione determina l'esistenza della primitiva e quindi l'integrabilità della funzione stessa, non è detto però che sia anche derivabile.