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Funzioni primitive

Nel modulo dedicato a “La derivata di una funzione”, abbiamo parlato dell’operazione di derivata di una funzione. Ora cerchiamo di risolvere il problema inverso che vedremo essere più complesso ed è il seguente:

Definizione

Data una funzione Studenti/matematica in un intervallo chiuso Studenti/matematica, individuare una funzione Studenti/matematica la cui derivate nell'intervallo medesimo sia Studenti/matematica.

Sinteticamente deve accadere che:

Studenti/matematica
1

Tutte le funzioni Studenti/matematica che soddifano la condizione (1) sono definite funzioni primitive di Studenti/matematica.

Enunciamo ora qualche proprietà importante delle funzioni primitive.

Definizione 1

Se la funzione Studenti/matematica ammette una funzione primitiva Studenti/matematica, allora ne ammette infinite che scriveremo così

Studenti/matematica

con Studenti/matematica costante arbitraria.

Si ricavano intuitivamente le due seguenti osservazioni:

  1. Differendo tutte le primitive Studenti/matematica di Studenti/matematica per una costante Studenti/matematica significa dire che esse costituiscono una famiglia di curve piane in numero uguale al valore di Studenti/matematica.

  2. Tra tutte le primitive Studenti/matematica di Studenti/matematica in Studenti/matematica, ne esiste una ed una sola che in un determinato punto Studenti/matematica di Studenti/matematica assume un valore dato Studenti/matematica, essendo

    Studenti/matematica

    la funzione Studenti/matematica é determinata in maniera univoca quindi Studenti/matematica.

L'insieme delle primitive di Studenti/matematica si dice integrale indefinito di Studenti/matematica e si indica con il simbolo

Studenti/matematica

esso va così letto: integrale indefinito di Studenti/matematica in Studenti/matematica.

Il simboloStudenti/matematica é il simbolo di integrazione e Studenti/matematica é chiamata la funzione integranda.

Pertanto, si avrà

Studenti/matematica

Da quanto precedentemente visto possiamo scrivere

Studenti/matematica
2

Dalla (2) possiamo dire che l’operazione di integrazione indefinita può essere considerata l’operazione inversa della derivazione. Precisiamo che la primitiva Studenti/matematica ammette nell’intervallo Studenti/matematica una derivata ed é unica, viceversa se la funzione integranda Studenti/matematica ammette una primitiva ne ammette infinite a meno di una costante Studenti/matematica.

Quindi ricordiamo che l’operazione di integrazione indefinita associa ad una funzione una classe di funzioni, mentre l’operazione di derivazione ad ogni funzione associa una sola funzione.

A tal proposito possiamo enunciare il seguente teorema

Teorema

Ogni funzione Studenti/matematica continua in Studenti/matematica ammette nell'intervallo dato una funzione primitiva in Studenti/matematica.

Quindi la continuità di una funzione determina l'esistenza della primitiva e quindi l'integrabilità della funzione stessa, non è detto però che sia anche derivabile.