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Funzioni inverse

In questo paragrafo vediamo cos’è la funzione inversa e come si opera con essa.

Sia Studenti/matematica una funzione biunivoca

Studenti/matematica

Si dice funzione inversa della funzione Studenti/matematica la funzione

Studenti/matematica

e cioè la funzione che fa corrispondere ad ogni elemento Studenti/matematica l’elemento Studenti/matematica tale che Studenti/matematica (figura 1).

Studenti/matematica
1

La funzione inversa Studenti/matematica ha per dominio e codominio, rispettivamente, il codominio ed il dominio della funzione Studenti/matematica di partenza.

Per determinare praticamente l'inversa di una funzione è necessario percorrere i seguenti passi:

  1. verificare che la funzione Studenti/matematica sia iniettiva (elementi distinti del dominio hanno corrispondenti distinti nel codominio)

  2. verificare che la funzione Studenti/matematicasia suriettiva (ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio)

  3. invertire la funzione Studenti/matematica, ossia trasformare con passaggi algebrici l’espressione Studenti/matematica in Studenti/matematica “espressione in y”, il che significa risolvere l’equazione rispetto all'incognita Studenti/matematica.

Poichè la funzione di partenza potrebbe essere di qualsiasi tipo, non è possibile stabilire un procedimento preciso per ricavare tale espressione.

Esempio

Si consideri la funzione

Studenti/matematica

Calcolare la sua funzione inversa.

La funzione considerata è sia iniettiva che suriettiva, pertanto è possibile determinare la sua funzione inversa.

La funzione inversa è data da:

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

È importante osservare che si può invertire anche una funzione che sia iniettiva ma non suriettiva, restringendo opportunamente il codominio della funzione.

Si consideri una funzioneStudenti/matematica avente come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali Studenti/matematica. Dire che Studenti/matematica non è suriettiva significa dire che essa non ha come immagine tutto l'insieme Studenti/matematica. La sua immagine (Studenti/matematica) è, invece, propriamente contenuta in Studenti/matematica.

Pertanto, se si considera Studenti/matematica non come una funzione di Studenti/matematica in Studenti/matematica

Studenti/matematica

bensì come una funzione di Studenti/matematica in Studenti/matematica

Studenti/matematica

questa è anche suriettiva e si può procedere con la determinazione dell’inversa.