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Funzioni algebriche razionali fratte

Le funzioni algebriche razionali si suddividono in intere e fratte. Per ognuna di esse si mostreranno i primi passi dello studio di funzione.

Assegnati due polinomi

Studenti/matematica
Studenti/matematica

con Studenti/matematica, la funzione

Studenti/matematica

si dice funzione algebrica razionale fratta.

Il suo dominio coincide con l’asse reale Studenti/matematica privato dei punti per i quali si annulla il denominatore.

Le caratteristiche ed il grafico di una funzione algebrica razionale fratta variano a seconda del grado del numeratore e del denominatore. In particolare, se i polinomi Studenti/matematica e Studenti/matematica sono entrambi di primo grado, la funzione assume la forma Studenti/matematica ed il suo grafico è un'iperbole omografica (figura 1).

Studenti/matematica

Esempio

Mostriamo in questo esempio i primi passi dello studio di funzione algebrica razionale fratta.

Si consideri al funzione

Studenti/matematica
1

Tipo di funzione

Si tratta di una funzione algebrica razionale fratta

Dominio

Coincide con l'asse reale Studenti/matematica privato dei punti che annullano il denominatore, ossia: Studenti/matematica;

Parità o disparità, simmetrie evidenti

Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari

Studenti/matematica (definizione di funzione pari)

Studenti/matematica (definizione di funzione dispari)

si può concludere che la funzione (1) non è nè pari nè dispari, ossia non presenta simmetrie evidenti;

Segno

Studio della variazione del segno: bisogna porre Studenti/matematica ossia. Risolvendo la disequazione

Studenti/matematica

si può concludere che la funzione assume valori positivi per tutti i valori della Studenti/matematica per cui

Studenti/matematica

e assume valori negativi per tutti i valori della Studenti/matematica per cui

Studenti/matematica

Intersezioni con gli assi

Bisogna risolvere due sistemi, ossia mettere a sistema l’equazione della funzione (1) con l’equazione dell’asse delle Studenti/matematica (Studenti/matematica) e poi con quello delle Studenti/matematica (Studenti/matematica).

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica.

Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate Studenti/matematica

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica.

Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate Studenti/matematica

Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull'andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l'individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.

Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue

Studenti/matematica

È opportuno ricordare che se il grado del polinomio Studenti/matematica è maggiore o uguale al grado del polinomio Studenti/matematica, ricorrendo alla divisione tra polinomi, ogni funzione algebrica razionale fratta può essere scritta nella forma

Studenti/matematica

con Studenti/matematica polinomio quoziente ed Studenti/matematica polinomio resto.