Le funzioni algebriche razionali si suddividono in intere e fratte. Per ognuna di esse si mostreranno i primi passi dello studio di funzione.
Assegnati due polinomi
con , la funzione
si dice funzione algebrica razionale fratta.
Il suo dominio coincide con l’asse reale privato dei punti per i quali si annulla il denominatore.
Le caratteristiche ed il grafico di una funzione algebrica razionale fratta variano a seconda del grado del numeratore e del denominatore. In particolare, se i polinomi e sono entrambi di primo grado, la funzione assume la forma ed il suo grafico è un'iperbole omografica (figura 1).
Esempio
Mostriamo in questo esempio i primi passi dello studio di funzione algebrica razionale fratta.
Si consideri al funzione
Tipo di funzione
Si tratta di una funzione algebrica razionale fratta
Dominio
Coincide con l'asse reale privato dei punti che annullano il denominatore, ossia: ;
Parità o disparità, simmetrie evidenti
Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari
(definizione di funzione pari)
(definizione di funzione dispari)
si può concludere che la funzione (1) non è nè pari nè dispari, ossia non presenta simmetrie evidenti;
Segno
Studio della variazione del segno: bisogna porre ossia. Risolvendo la disequazione
si può concludere che la funzione assume valori positivi per tutti i valori della per cui
e assume valori negativi per tutti i valori della per cui
Intersezioni con gli assi
Bisogna risolvere due sistemi, ossia mettere a sistema l’equazione della funzione (1) con l’equazione dell’asse delle () e poi con quello delle ().
Intersezione con l'asse :
se allora .
Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate
Intersezione con l'asse :
se allora .
Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate
Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull'andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l'individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.
Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue
È opportuno ricordare che se il grado del polinomio è maggiore o uguale al grado del polinomio , ricorrendo alla divisione tra polinomi, ogni funzione algebrica razionale fratta può essere scritta nella forma
con polinomio quoziente ed polinomio resto.