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Funzioni algebriche irrazionali intere

Le funzioni algebriche irrazionali si suddividono in intere e fratte. Per ognuna di esse si mostreranno i primi passi dello studio di funzione.

Le funzioni algebriche irrazionali si pongono come un caso particolare della funzione potenza (caso di esponente frazionario del tipo Studenti/matematica). Ricordiamo che una funzione potenza è una funzione del tipo Studenti/matematica le cui proprietà dipendono dal valore assunto dall'esponente Studenti/matematica. In particolare, quando Studenti/matematica è un intero positivo, Studenti/matematica è compreso tra 0 e 1 e si ha, come noto, Studenti/matematica = Studenti/matematica.

Si ha:

  • se Studenti/matematica è pari la funzione è definita solo per le Studenti/matematica non negative;

  • se Studenti/matematica è dispari è definita anche per le Studenti/matematica negative.

A titolo di esempio in figura è riportato il grafico della funzione Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Si definisce funzione algebrica irrazionale intera una funzione in cui la variabile indipendente Studenti/matematica compare sotto il segno di radice

Studenti/matematica

La logica con la quale si determina il dominio di una funzione algebrica irrazionale intera è strettamente collegata all’indice di radice Studenti/matematica.

Si distinguono due casi:

  1. radice di indice pari: Studenti/matematica

    Poichè la radice di indice pari è definita solo per valori non negativi del radicando, il dominio della funzione Studenti/matematica sarà costituito dai valori di Studenti/matematica per i quali Studenti/matematica. Pertanto, si ha:

    Studenti/matematica
  2. radice di indice dispari: Studenti/matematica

    Poichè la radice di indice dispari è definita sia per valori positivi che negativi del radicando, il dominio della funzione coinciderà con tutto l'asse reale Studenti/matematica.

    Studenti/matematica

Esempio

Mostriamo in questo esempio i primi passi dello studio di funzione algebrica irrazionale intera.

Si consideri la funzione

Studenti/matematica
1

Tipo di funzione

Funzione algebrica irrazionale intera.

Dominio

È costituito dai punti per cui il radicando è maggiore o uguale a zero

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Parità o disparità, simmetrie evidenti

Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari

Studenti/matematica (definizione di funzione pari)

Studenti/matematica (definizione di funzione dispari)

si può concludere che la (1) non è nè pari nè disari, ossia non presenta simmetrie evidenti;

Segno

Bisogna porre Studenti/matematica. Poichè la funzione radice quadrata è definita sempre positiva, tale condizione è verificata per ogni Studenti/matematica appartenente al dominio della funzione Studenti/matematica.

Intersezioni con gli assi

Intersezione con l’asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica.

Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate Studenti/matematica;

Intersezione con l’asse Studenti/matematica:

in questo caso non è lecito chiedersi cosa accadrebbe se Studenti/matematica in quanto tale valore è escluso dal dominio della funzione.

Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.

Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue

Studenti/matematica