Le funzioni algebriche irrazionali si suddividono in intere e fratte. Per ognuna di esse si mostreranno i primi passi dello studio di funzione.
Le funzioni algebriche irrazionali si pongono come un caso particolare della funzione potenza (caso di esponente frazionario del tipo 
). Ricordiamo che una funzione potenza è una funzione del tipo 
le cui proprietà dipendono dal valore assunto dall'esponente 
. In particolare, quando 
è un intero positivo, 
è compreso tra 0 e 1 e si ha, come noto, 
= 
.
Si ha:
-
se
è pari la funzione è definita solo per le 
non negative; -
se
è dispari è definita anche per le 
negative.
A titolo di esempio in figura è riportato il grafico della funzione 
.
Si definisce funzione algebrica irrazionale intera una funzione in cui la variabile indipendente 
compare sotto il segno di radice
La logica con la quale si determina il dominio di una funzione algebrica irrazionale intera è strettamente collegata all’indice di radice 
.
Si distinguono due casi:
-
radice di indice pari:
Poichè la radice di indice pari è definita solo per valori non negativi del radicando, il dominio della funzione
sarà costituito dai valori di 
per i quali 
. Pertanto, si ha:
-
radice di indice dispari:
Poichè la radice di indice dispari è definita sia per valori positivi che negativi del radicando, il dominio della funzione coinciderà con tutto l'asse reale
.
Esempio
Mostriamo in questo esempio i primi passi dello studio di funzione algebrica irrazionale intera.
Si consideri la funzione
Tipo di funzione
Funzione algebrica irrazionale intera.
Dominio
È costituito dai punti per cui il radicando è maggiore o uguale a zero
Parità o disparità, simmetrie evidenti
Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari
(definizione di funzione pari)
(definizione di funzione dispari)
si può concludere che la (1) non è nè pari nè disari, ossia non presenta simmetrie evidenti;
Segno
Bisogna porre 
. Poichè la funzione radice quadrata è definita sempre positiva, tale condizione è verificata per ogni 
appartenente al dominio della funzione 
.
Intersezioni con gli assi
Intersezione con l’asse 
:
se 
allora 
.
Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate 
;
Intersezione con l’asse 
:
in questo caso non è lecito chiedersi cosa accadrebbe se 
in quanto tale valore è escluso dal dominio della funzione.
Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.
Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue
