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Funzioni algebriche irrazionali fratte

Le funzioni algebriche irrazionali si suddividono in intere e fratte. Per ognuna di esse si mostreranno i primi passi dello studio di funzione.

Le funzioni algebriche irrazionali si pongono come un caso particolare della funzione potenza (caso di esponente frazionario del tipo Studenti/matematica). Ricordiamo che una funzione potenza è una funzione del tipo Studenti/matematica le cui proprietà dipendono dal valore assunto dall'esponente Studenti/matematica. In particolare, quandoStudenti/matematica è un intero positivo, Studenti/matematica è compreso tra 0 e 1 e si ha, come noto, Studenti/matematica = Studenti/matematica.

Si ha:

  • se Studenti/matematica è pari la funzione è definita solo per le Studenti/matematica non negative

  • se Studenti/matematica è dispari è definita anche per le Studenti/matematica negative

A titolo di esempio in figura è riportato il grafico della funzione Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Si definisce funzione algebrica irrazionale fratta una funzione in cui la variabile indipendente Studenti/matematica compare sotto il segno di radice ed il radicando è il rapporto di due polinomi, Studenti/matematica e Studenti/matematica con Studenti/matematica

Studenti/matematica

Come nel caso delle funzioni algebriche irrazionali intere, la logica con la quale si determina il dominio di una funzione algebrica irrazionale fratta è strettamente collegata all’indice di radice Studenti/matematica.

Si distinguono due casi:

  1. radice di indice pari: Studenti/matematica

    Poichè la radice di indice pari è definita solo per valori non negativi del radicando, il dominio della funzione Studenti/matematica sarà costituito dai valori per i quali vale Studenti/matematica (è già noto che nel risolvere una disequazione di questo tipo bisogna porre il denominatore diverso da zero). Si ha:

    Studenti/matematica
  2. radice di indice dispari: Studenti/matematica

    Poichè la radice di indice dispari è definita sia per valori positivi che negativi del radicando, il dominio della funzione coinciderà con tutto l’asse reale Studenti/matematica privato dei valori che annullano il denominatore:

    Studenti/matematica

Esempio

Si consideri la funzione

Studenti/matematica

Tipo di funzione

La funzione è del tipo algebrica irrazionale fratta.

Dominio

È costituito dai valori per cui il radicando è maggiore o uguale a zero, ossia

Studenti/matematica

risolvendo la disequazione si può concludere che il dominio coincide con l’intervallo Studenti/matematica.

Parità o disparità, simmetrie evidenti

Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari

Studenti/matematica (definizione di funzione pari)

Studenti/matematica (definizione di funzione dispari)

si può concludere che la (1) non è nè pari nè dispari, ossia non presenta simmetrie evidenti.

Segno

Studio della variazione del segno: bisogna porre Studenti/matematica. Risolvendo la disequazione

Studenti/matematica
Studenti/matematica

si può concludere che la funzione assume valori positivi per tutti i valori della Studenti/matematica per cui

x ε ] - 1, 1[ ossia è sempre positiva nel suo dominio.

Intersezioni con gli assi

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica. Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate Studenti/matematica;

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica. Ciò significa che la funzione passa per il punto di coordinate Studenti/matematica

Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.

Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue

Studenti/matematica