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Funzione omografica: iperbole traslata

Una funzione di equazione

Studenti/matematica
1

con Studenti/matematica e Studenti/matematica non simultaneamente, é detta funzione omografica.

Come è facile immaginare, al variare dei coefficienti la (1) prende diverse forme. In questo modulo studieremo alcuni di questi casi.

  1. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, allora si ha che

    Studenti/matematica

    detto Studenti/matematica il termine Studenti/matematica, cioè posto Studenti/matematica otteniamo

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    quindi

    Studenti/matematica

    da cui sostituendo nella (1) si ricava

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    pertanto, la (1) é una retta parallela all'asse Studenti/matematica escluso il punto Studenti/matematica.

    Studenti/matematica
  2. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, si ha in questo caso che la (1) é un’iperbole equilatera traslata con centro di simmetria Studenti/matematica e con gli asintoti le rette di equazioni

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    Infatti, basta considerare le formule di traslazione

    Studenti/matematica

    dove possiamo porre

    Studenti/matematica
    2
    Studenti/matematica
    3

    ed applicarle all’equazione (1) che diventa

    Studenti/matematica

    da cui dopo alcuni passaggi si ottiene

    Studenti/matematica

    che è appunto l’equazione dell’iperbole traslata. Per le posizioni (2) e (3) si ha che l’origine del nuovo sistema di coordinate è proprio il punto O’Studenti/matematica, che è dunque anche il centro di simmetria dell’iperbole.

    Studenti/matematica
  3. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, allora l’equazione (1) diventa

    Studenti/matematica

    che rappresenta una retta il cui coeffficiente angolare é Studenti/matematica.

    Studenti/matematica

Per l’iperbole equilatera traslata, a differenza degli altri tipi di iperbole, occorrono tre condizioni indipendenti e non quattro. Infatti, poiché Studenti/matematica si può scrivere

Studenti/matematica

e ponendo

Studenti/matematica
4
Studenti/matematica
5
Studenti/matematica
6

si ha

Studenti/matematica

i coefficienti che compaiono sono tre e si possono verificare tre possibilità:

  1. Conoscenza dell’equazione di un asintoto e passaggio per due punti.

  2. Passaggio per tre punti.

  3. Conoscenza delle coordinate del centro di simmetria (o degli asintoti) e passaggio per un punto

Facciamo un esempio.

Esempio

Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera traslata con asintoto Studenti/matematica passante per Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Dalla (6) possiamo scrivere

Studenti/matematica

ed essendo

Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica

il passaggio per Studenti/matematica fornisce la condizione

Studenti/matematica

il passaggio per Studenti/matematica fornisce la condizione

Studenti/matematica

Mettendo a sistema le tre condizioni trovate, cerchiamo le soluzioni

Studenti/matematica

che sono

Studenti/matematica

per cui otteniamo

Studenti/matematica

La figura seguente illustra l’iperbole ed i dati di partenza

Studenti/matematica

Studiamo ora l’equazione della curva

Studenti/matematica
7

con

Studenti/matematica

Possono verificarsi i seguenti casi:

  1. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, allora le soluzioni della (7) sono date dall’iperbole

    Studenti/matematica

    per i soli valori che giacciono nel semipiano Studenti/matematica

    Studenti/matematica
  2. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, allora le soluzioni della (7) sono date dall’iperbole

    Studenti/matematica

    per i soli valori che giacciono nel semipiano Studenti/matematica

    Studenti/matematica
  3. Se Studenti/matematica e b>0, allora le soluzioni della (7) sono date dall’ellisse

    Studenti/matematica

    per i soli valori che giacciono nel semipiano Studenti/matematica

    Studenti/matematica
  4. Se Studenti/matematicae Studenti/matematica, allora la curva descritta dalla (7) non è reale.

  5. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, allora la curva (7) diventa

    Studenti/matematica

    che si può anche semplificare come

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
  6. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, allora la curva (7) diventa

    Studenti/matematica

    e l’unico punto reale é in corrispondenza di Studenti/matematica, ossia l’origine Studenti/matematica.

  7. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica, allora la curva (7) diventa

    Studenti/matematica

    che è una retta parallela all’asse delle Studenti/matematica.

Facciamo un esempio di studio della curva Studenti/matematica

Esempio

Rappresentare la funzione

Studenti/matematica

Ci troviamo nel caso 2, entrambi i coefficienti del radicando sono positivi. La curva si trova nel semipiano positivo del sistema di assi cartesiani Studenti/matematica. Ponendo Studenti/matematica si calcola immediatamente l’intersezione con l'asse Studenti/matematica che è il punto Studenti/matematica.

Scriviamo il sistema equivalente in relazione ai valori dei coefficienti del radicando:

Studenti/matematica

da cui ricaviamo l’equazione dell’iperbole che ci fornisce le soluzioni nel semipiano positivo.

Studenti/matematica

L'equazione del sistema rappresenta un’iperbole con i fuochi sull'asse Studenti/matematica ed i vertici di coordinate Studenti/matematica. Gli asintoti hanno equazioni Studenti/matematica.

La figura che possiamo costruire con le informazioni ricavate è la seguente

Studenti/matematica