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La funzione integrale: il teorema fondamentale (Torricelli- Barrow)

Adesso dobbiamo introdurre una altro teorema di fondamentale importanza per il calcolo degli integrali definiti. Infatti, quanto è stato scritto finora non aiuta nella soluzione di innumerevoli tipologie di funzioni, essendo proprietà che si possono applicare solo alle funzioni più semplici.

Prima di tutto ricordiamo che l'integrale definito

Studenti/matematica

é un numero reale che dipende dalla Studenti/matematica e dagli estremi di integrazione ma indipendente dalla variabile di integrazione Studenti/matematica. Quindi, vogliamo dire che si può scrivere indifferentemente:

Studenti/matematica

con Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica punti di Studenti/matematica. Se supponiamo variabile l'estremo superiore di integrazione indicato con la lettera Studenti/matematica allora abbiamo

Studenti/matematica

e l'integrale diventa una funzione di Studenti/matematica. Ad evitare errori di confusione sarà conveniente scrivere:

Studenti/matematica

la Studenti/matematica si chiama funzione integrale della Studenti/matematica e quest’ultima é la funzione integranda.

Possiamo adesso enunciare il Teorema fondamentale o di Torricelli- Barrow.

Teorema

Data la funzione Studenti/matematica una funzione integrabile. Si definisce funzione integrale di Studenti/matematica la funzione Studenti/matematica tale che

Studenti/matematica

Se Studenti/matematica è limitata, si ha che Studenti/matematica è continua in Studenti/matematica e se Studenti/matematica è continua in Studenti/matematica allora Studenti/matematica é derivabile per ogni Studenti/matematica e si ha:

Studenti/matematica

Questo teorema evidenzia due proprietà fondamentali: la prima che Studenti/matematica é una primitiva di Studenti/matematica, la seconda che se la funzione integrale assume nell'estremo superiore di integrazione lo stesso valore del primo, essa vale zero cioé Studenti/matematica.

Ora deriviamo da questo teorema il procedimento per il calcolo dell'integrale definito Studenti/matematica.

Prima bisogna trovare una primitiva di Studenti/matematica che indichiamo con Studenti/matematica, quindi dobbiamo calcolare la differenza tra i valori assunti dalla Studenti/matematica negli estremi di integrazione Studenti/matematica e Studenti/matematica; in definitiva scriviamo

Studenti/matematica

oppure

Studenti/matematica

Partendo dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo aggiungere che, se conosciamo il grafico di Studenti/matematica, il grafico di Studenti/matematica avrà le seguenti caratteristiche:

  1. gli zeri di Studenti/matematica sono punti a tangente orizzontale per Studenti/matematica.

  2. se Studenti/matematica é dispari Studenti/matematica è pari

  3. dove la Studenti/matematica é negativa (positiva) la Studenti/matematica é decrescente (crescente)

  4. se Studenti/matematica e se Studenti/matematica é pari Studenti/matematica sarà dispari.