Adesso dobbiamo introdurre una altro teorema di fondamentale importanza per il calcolo degli integrali definiti. Infatti, quanto è stato scritto finora non aiuta nella soluzione di innumerevoli tipologie di funzioni, essendo proprietà che si possono applicare solo alle funzioni più semplici.
Prima di tutto ricordiamo che l'integrale definito
é un numero reale che dipende dalla e dagli estremi di integrazione ma indipendente dalla variabile di integrazione . Quindi, vogliamo dire che si può scrivere indifferentemente:
con , e punti di . Se supponiamo variabile l'estremo superiore di integrazione indicato con la lettera allora abbiamo
e l'integrale diventa una funzione di . Ad evitare errori di confusione sarà conveniente scrivere:
la si chiama funzione integrale della e quest’ultima é la funzione integranda.
Possiamo adesso enunciare il Teorema fondamentale o di Torricelli- Barrow.
Teorema
Data la funzione una funzione integrabile. Si definisce funzione integrale di la funzione tale che
Se è limitata, si ha che è continua in e se è continua in allora é derivabile per ogni e si ha:
Questo teorema evidenzia due proprietà fondamentali: la prima che é una primitiva di , la seconda che se la funzione integrale assume nell'estremo superiore di integrazione lo stesso valore del primo, essa vale zero cioé .
Ora deriviamo da questo teorema il procedimento per il calcolo dell'integrale definito .
Prima bisogna trovare una primitiva di che indichiamo con , quindi dobbiamo calcolare la differenza tra i valori assunti dalla negli estremi di integrazione e ; in definitiva scriviamo
oppure
Partendo dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo aggiungere che, se conosciamo il grafico di , il grafico di avrà le seguenti caratteristiche:
-
gli zeri di sono punti a tangente orizzontale per .
-
se é dispari è pari
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dove la é negativa (positiva) la é decrescente (crescente)
-
se e se é pari sarà dispari.