Consideriamo un angolo di ampiezza , ad esso corrispondono i due valori numerici e . Se è possibile calcolare il rapporto . Poichè tale valore dipende da , questo rapporto definisce una nuova funzione: la cotangente di che si indica con (oppure con o anche con )

La cotangente di un angolo può anche essere definita geometricamente nel piano cartesiano a partire dalla circonferenza goniometrica. Dato un angolo di ampiezza , di vertice , con un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse e l’altro con la semiretta , sia il suo punto di intersezione con la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto . L’ascissa del punto è la cotangente di , come mostrato in figura:

Come si è detto, la funzione cotangente non è definita per ogni numero reale. Infatti, non è definita per tutti quei valori che rendono nullo il seno dell’angolo. In altre parole, si ha

Ricordando le proprietà delle funzioni seno e coseno, risulta immediato ricavare la seguente tabella di valori noti della funzione cotangente

Dalla definizione geometrica della cotangente, è facile verificare la sua periodicità (di periodo , con ). Infatti, aggiungendo volte un angolo piatto (quindi di ampiezza ), il lato finale dell’angolo interseca la circonferenza nello stesso punto e quindi il suo punto di intersezione con la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto è ancora il punto . Pertanto si ha

e quindi

Inoltre, è facile verificare che la funzione cotangente è una funzione dispari nel suo insieme di definizione:

Pertanto il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine, come mostrato in figura

Esempio 1

Calcolare il valore delle seguenti espressioni

Utilizzando le proprietà delle funzioni goniometriche fin qui viste, si ottiene