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La funzione cotangente

Consideriamo un angolo di ampiezza Studenti/matematica, ad esso corrispondono i due valori numerici Studenti/matematica e Studenti/matematica. Se Studenti/matematica è possibile calcolare il rapporto Studenti/matematica. Poichè tale valore dipende da Studenti/matematica, questo rapporto definisce una nuova funzione: la cotangente di Studenti/matematica che si indica con Studenti/matematica (oppure con Studenti/matematica o anche con Studenti/matematica)

Studenti/matematica
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La cotangente di un angolo può anche essere definita geometricamente nel piano cartesiano a partire dalla circonferenza goniometrica. Dato un angolo di ampiezza Studenti/matematica, di vertice Studenti/matematica, con un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse e l’altro con la semiretta Studenti/matematica, sia Studenti/matematica il suo punto di intersezione con la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto Studenti/matematica. L’ascissa del punto Studenti/matematica è la cotangente di Studenti/matematica, come mostrato in figura:

Studenti/matematica

Come si è detto, la funzione cotangente non è definita per ogni numero reale. Infatti, non è definita per tutti quei valori che rendono nullo il seno dell’angolo. In altre parole, si ha

Studenti/matematica

Ricordando le proprietà delle funzioni seno e coseno, risulta immediato ricavare la seguente tabella di valori noti della funzione cotangente

Studenti/matematica

Dalla definizione geometrica della cotangente, è facile verificare la sua periodicità (di periodo Studenti/matematica, con Studenti/matematica). Infatti, aggiungendo Studenti/matematica volte un angolo piatto (quindi di ampiezza Studenti/matematica), il lato finale dell’angolo interseca la circonferenza nello stesso punto Studenti/matematica e quindi il suo punto di intersezione con la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto Studenti/matematica è ancora il punto Studenti/matematica. Pertanto si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

e quindi

Studenti/matematica

Inoltre, è facile verificare che la funzione cotangente è una funzione dispari nel suo insieme di definizione:

Studenti/matematica

Pertanto il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine, come mostrato in figura

Studenti/matematica

Esempio 1

Calcolare il valore delle seguenti espressioni

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Utilizzando le proprietà delle funzioni goniometriche fin qui viste, si ottiene

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
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