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Forme indeterminate

Come visto nel modulo “Operazioni con i limiti”, in molte circostanze si possono applicare delle operazioni sui limiti per risolvere il limite di una funzione che risulta composta, attraverso operazioni artimetiche, da funzioni più semplici. In alcuni casi, però, si possono presentare delle forme in cui l’andamento delle singole funzioni non consente di decidere sulla forma finale che prende la funzione di partenza. Si giunge così alle cosidette forme indeterminate. Alcune volte si rende necessario applicare degli artifici per poter ottenere la soluzione.

Vediamo con più precisione in quali casi si giunge alle forme indeterminate.

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione Studenti/matematica.

Date due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica verifichiamo cosa accade al limite della loro somma Studenti/matematica in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di Studenti/matematica e Studenti/matematica. La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per Studenti/matematica che tende ad un punto finito o infinito (sia quando Studenti/matematica, sia quando Studenti/matematica).

Studenti/matematica

È bene approfondire il significato di “forma indeterminata” e lo facciamo a partire da questa prima forma, ossia ±∞∓∞. Infatti, quanto scritto in tabella vuol dire che se prese individualmente le due funzioni sono tali che

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

non si può dire nulla sul limite della somma, ma questo non significa che tale limite non esiste o non può essere calcolato. Al contrario, potrebbe essere facilmente calcolabile il limite della somma, e questo dipende da caso a caso. Dunque, il senso del termine “forma indeterminata” va inteso come una forma che non ci consente di determinare il risultato.

Vale anche l’affermazione contraria, ossia se ad esempio conosciamo il limite della somma, non esiste necessariamente il limite degli addendi, e ciò vale anche per le altre forme indeterminate che vedremo di seguito.

In altre parole si può ancora dire che il limite di una forma indeterminata non dipende dai limiti Studenti/matematica ed Studenti/matematica ma dalle particolari caratteristiche delle funzioni stesse Studenti/matematica e Studenti/matematica, questo per qualsiasi operazione aritmetica (ossia qualsiasi forma indeterminata) .

Facciamo degli esempi per chiarire quanto fin qui esposto.

Nell’esempio che segue abbiamo un forma indeterminata del tipo Studenti/matematica che troviamo in genere in presenza di radicali.

In tali casi un metodo di risoluzione consiste nell’utilizzare la razionalizzazione (il metodo che consente di semplificare le frazioni che preesentano dei radicali al denominatore). In tal modo la funzione cambia forma ed é risolvibile, oppure cambia il tipo di forma indeterminata che diventa del tipo Studenti/matematica e così possiamo risolverla con altri metodi (relativi a tale altra forma indeterminata), ad esempio tenendo conto degli ordini di infiniti di numeratore e denominatore.

Esempio 1

Calcolare il seguente limite

Studenti/matematica

si verifica immediatamente che sostituendo nella funzione dei valori che si approssimano ad da destra si ottiene la forma indeterminata Studenti/matematica. Allora possiamo provare a razionalizzare il termine

Studenti/matematica

ed otteniamo

Studenti/matematica

e sostituendolo nella funzione di partenza otteniamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

per cui considerando il limite, essendo il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore, si ha

Studenti/matematica

Esempio 2

Calcolare il seguente limite

Studenti/matematica

Anche qui si deduce subito che il limite porta ad una forma indeterminata del tipo +∞-∞. In questo caso pur non essendoci un radicale al denominatore si prosegue con la stessa tecnica della razionalizzazione, ossia si moltiplica e divide per Studenti/matematica ottenendo così

Studenti/matematica
Studenti/matematica

e ritornando al limite si ricava facilmente il risultato

Studenti/matematica

Esempio 2

Consideriamo le due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica così definite

Studenti/matematica
Studenti/matematica

verifichiamo che i limiti delle due funzioni per Studenti/matematica portano il limite della somma alla forma indeterminata Studenti/matematica.

Ricordando che il limite all’infinito di una funzione razionale fratta vale Studenti/matematica se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, ricaviamo che

Studenti/matematica

Per quanto riguarda la Studenti/matematica è facile constatare che

Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica

mentre, se consideriamo la somma della due funzione e poi facciamo il limite, otteniamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Visualizziamo il grafico delle due funzioni e della loro somma per verificare intuitivamente il risultato osservando l’andamento delle curve.

Studenti/matematica

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione Studenti/matematica.

Date due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica verifichiamo cosa accade al limite del loro prodotto Studenti/matematica in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di Studenti/matematica e Studenti/matematica. La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per Studenti/matematica che tende ad un punto finito o infinito (sia quando Studenti/matematica, sia quando Studenti/matematica).

Studenti/matematica

Facciamo un esempio anche per il caso del prodotto.

Esempio 3

Consideriamo le due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica così definite

Studenti/matematica
Studenti/matematica

verifichiamo che i limiti delle due funzioni per Studenti/matematica portano il limite della somma alla forma indeterminata Studenti/matematica.

Si verifica immediatamente che

Studenti/matematica

mentre

Studenti/matematica

Dunque il prodotto dei limiti conduce alla forma indeterminata Studenti/matematicaStudenti/matematica. Se calcoliamo, invece, il limite del prodotto Studenti/matematica abbiamo

Studenti/matematica

da cui passando al limite

Studenti/matematica

Questo il grafico delle due funzioni e del loro prodotto.

Studenti/matematica

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione Studenti/matematica.

Si noti che le forme indeterminate che si ottengono dal rapporto di due funzioni sono di fatto un altro modo con cui si possono ottenere le stesse forme indeterminate del prodotto di funzioni. Infatti, basta osservare, ancora prima di passare ai limiti, che vale la seguente

Studenti/matematica

quindi potremmo ricondurre tutti i casi visti per il prodotto a quelli per il rapporto. Ad ogni modo, si riportano le forme indeterminate del rapporto di funzioni in quanto si trovano spesso nella pratica proprio sotto questa forma.

Date due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica verifichiamo cosa accade al limite del loro rapporto Studenti/matematica in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di Studenti/matematica e Studenti/matematica. La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per Studenti/matematica che tende ad un punto finito o infinito (sia quando Studenti/matematica, sia quando Studenti/matematica).

Studenti/matematica

Dei casi particolari si hanno quando la funzione al numeratore è una costante, ad esempio 1. Tra questi casi ci sono i seguenti:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Come ultima osservazione per il caso di rapporto tra due funzioni, riportiamo quanto segue.

Abbiamo già visto nel modulo dedicato al limite finito di una funzione all’infinito che i limiti delle funzioni razionali fratte per Studenti/matematica si riconducono al limite del rapporto tra i termini di grado massimo

Studenti/matematica

da cui si giunge a tre possibili soluzioni:

Studenti/matematica
1

quindi, di fatto la forma indeterminata che si ottiene per le funzioni razionali fratte al tendere di Studenti/matematica ad Studenti/matematica si risolve con la regola (1).

Vediamo ora come fare quando, invece, la funzione razionale fratta porta alla forma indeterminata Studenti/matematica, per Studenti/matematica finito o infinito.

Dati due polinomi

Studenti/matematica
Studenti/matematica

se

Studenti/matematica

allora il limite

Studenti/matematica

Per procedere con il calcolo possiamo usare il seguente procedimento.

Si considera

Studenti/matematica

dove Studenti/matematica è

Studenti/matematica

Non dimostreremo qui che Studenti/matematica risulta divisibile per Studenti/matematica per l’ipotesi che Studenti/matematica è una radice di Studenti/matematica, quindi è sempre possibile trovare Studenti/matematica come sopra scritto.

Dunque, il limite si riscrive come

Studenti/matematica

Se tale limite risulta ancora indeterminato, si può replicare il processo.

Aggiungiamo ancora alcune utili informazioni per la risoluzione di queste forme indeterminate, in particolare quelle del tipo Studenti/matematica:

  • Nel confronto tra due funzioni in rapporto tra loro quella con l’ordine (grado) maggiore tende all’infinito più rapidamente di quella di ordine minore.

  • Nel raffronto fra infiniti, quello con potenza maggiore di 1 (es. Studenti/matematica) aumenta più velocemente di quello con potenza minore di 1 (es. Studenti/matematica).

  • La funzione esponenziale tende all'infinito più velocemente di tutte le altre, invece la funzione Studenti/matematica è la più lenta.

  • Vale pure che l'infinitesimo campione Studenti/matematica tende a 0 più lentamente di infinitesimi di ordine superiore al campione (es. Studenti/matematicaStudenti/matematica, Studenti/matematicaStudenti/matematica, etc).

Facciamo un esempio per il limite del rapporto di due funzioni.

Esempio 4

Consideriamo le due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica così definite

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Calcoliamo il limite del rapporto Studenti/matematica

Studenti/matematica

da quanto riportato prima, nel caso di Studenti/matematica sarà sufficiente considerare solo i termini di grado massimo dei polinomi a numeratore e denominatore, per cui scriviamo

Studenti/matematica

La figura seguente mostra il grafico delle due funzioni e del loro rapporto

Studenti/matematica

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione Studenti/matematica.

Come ultimo caso consideriamo il limite dell’elevamento a potenza Studenti/matematica in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di Studenti/matematica e Studenti/matematica. La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per Studenti/matematica che tende ad un punto finito o infinito (sia quando Studenti/matematica, sia quando Studenti/matematica).

Studenti/matematica