Come visto nel modulo “Operazioni con i limiti”, in molte circostanze si possono applicare delle operazioni sui limiti per risolvere il limite di una funzione che risulta composta, attraverso operazioni artimetiche, da funzioni più semplici. In alcuni casi, però, si possono presentare delle forme in cui l’andamento delle singole funzioni non consente di decidere sulla forma finale che prende la funzione di partenza. Si giunge così alle cosidette forme indeterminate. Alcune volte si rende necessario applicare degli artifici per poter ottenere la soluzione.

Vediamo con più precisione in quali casi si giunge alle forme indeterminate.

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione .

Date due funzioni e verifichiamo cosa accade al limite della loro somma in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di e . La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per che tende ad un punto finito o infinito (sia quando , sia quando ).

È bene approfondire il significato di “forma indeterminata” e lo facciamo a partire da questa prima forma, ossia ±∞∓∞. Infatti, quanto scritto in tabella vuol dire che se prese individualmente le due funzioni sono tali che

e

non si può dire nulla sul limite della somma, ma questo non significa che tale limite non esiste o non può essere calcolato. Al contrario, potrebbe essere facilmente calcolabile il limite della somma, e questo dipende da caso a caso. Dunque, il senso del termine “forma indeterminata” va inteso come una forma che non ci consente di determinare il risultato.

Vale anche l’affermazione contraria, ossia se ad esempio conosciamo il limite della somma, non esiste necessariamente il limite degli addendi, e ciò vale anche per le altre forme indeterminate che vedremo di seguito.

In altre parole si può ancora dire che il limite di una forma indeterminata non dipende dai limiti ed ma dalle particolari caratteristiche delle funzioni stesse e , questo per qualsiasi operazione aritmetica (ossia qualsiasi forma indeterminata) .

Facciamo degli esempi per chiarire quanto fin qui esposto.

Nell’esempio che segue abbiamo un forma indeterminata del tipo che troviamo in genere in presenza di radicali.

In tali casi un metodo di risoluzione consiste nell’utilizzare la razionalizzazione (il metodo che consente di semplificare le frazioni che preesentano dei radicali al denominatore). In tal modo la funzione cambia forma ed é risolvibile, oppure cambia il tipo di forma indeterminata che diventa del tipo e così possiamo risolverla con altri metodi (relativi a tale altra forma indeterminata), ad esempio tenendo conto degli ordini di infiniti di numeratore e denominatore.

Esempio 1

Calcolare il seguente limite

si verifica immediatamente che sostituendo nella funzione dei valori che si approssimano ad da destra si ottiene la forma indeterminata . Allora possiamo provare a razionalizzare il termine

ed otteniamo

e sostituendolo nella funzione di partenza otteniamo

per cui considerando il limite, essendo il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore, si ha

Esempio 2

Calcolare il seguente limite

Anche qui si deduce subito che il limite porta ad una forma indeterminata del tipo +∞-∞. In questo caso pur non essendoci un radicale al denominatore si prosegue con la stessa tecnica della razionalizzazione, ossia si moltiplica e divide per ottenendo così

e ritornando al limite si ricava facilmente il risultato

Esempio 2

Consideriamo le due funzioni e così definite

verifichiamo che i limiti delle due funzioni per portano il limite della somma alla forma indeterminata .

Ricordando che il limite all’infinito di una funzione razionale fratta vale se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, ricaviamo che

Per quanto riguarda la è facile constatare che

quindi

mentre, se consideriamo la somma della due funzione e poi facciamo il limite, otteniamo

Visualizziamo il grafico delle due funzioni e della loro somma per verificare intuitivamente il risultato osservando l’andamento delle curve.

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione .

Date due funzioni e verifichiamo cosa accade al limite del loro prodotto in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di e . La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per che tende ad un punto finito o infinito (sia quando , sia quando ).

Facciamo un esempio anche per il caso del prodotto.

Esempio 3

Consideriamo le due funzioni e così definite

verifichiamo che i limiti delle due funzioni per portano il limite della somma alla forma indeterminata .

Si verifica immediatamente che

mentre

Dunque il prodotto dei limiti conduce alla forma indeterminata . Se calcoliamo, invece, il limite del prodotto abbiamo

da cui passando al limite

Questo il grafico delle due funzioni e del loro prodotto.

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione .

Si noti che le forme indeterminate che si ottengono dal rapporto di due funzioni sono di fatto un altro modo con cui si possono ottenere le stesse forme indeterminate del prodotto di funzioni. Infatti, basta osservare, ancora prima di passare ai limiti, che vale la seguente

quindi potremmo ricondurre tutti i casi visti per il prodotto a quelli per il rapporto. Ad ogni modo, si riportano le forme indeterminate del rapporto di funzioni in quanto si trovano spesso nella pratica proprio sotto questa forma.

Date due funzioni e verifichiamo cosa accade al limite del loro rapporto in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di e . La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per che tende ad un punto finito o infinito (sia quando , sia quando ).

Dei casi particolari si hanno quando la funzione al numeratore è una costante, ad esempio 1. Tra questi casi ci sono i seguenti:

Come ultima osservazione per il caso di rapporto tra due funzioni, riportiamo quanto segue.

Abbiamo già visto nel modulo dedicato al limite finito di una funzione all’infinito che i limiti delle funzioni razionali fratte per si riconducono al limite del rapporto tra i termini di grado massimo

da cui si giunge a tre possibili soluzioni:

quindi, di fatto la forma indeterminata che si ottiene per le funzioni razionali fratte al tendere di ad si risolve con la regola (1).

Vediamo ora come fare quando, invece, la funzione razionale fratta porta alla forma indeterminata , per finito o infinito.

Dati due polinomi

se

allora il limite

Per procedere con il calcolo possiamo usare il seguente procedimento.

Si considera

dove è

Non dimostreremo qui che risulta divisibile per per l’ipotesi che è una radice di , quindi è sempre possibile trovare come sopra scritto.

Dunque, il limite si riscrive come

Se tale limite risulta ancora indeterminato, si può replicare il processo.

Aggiungiamo ancora alcune utili informazioni per la risoluzione di queste forme indeterminate, in particolare quelle del tipo :

• Nel confronto tra due funzioni in rapporto tra loro quella con l’ordine (grado) maggiore tende all’infinito più rapidamente di quella di ordine minore.

• Nel raffronto fra infiniti, quello con potenza maggiore di 1 (es. ) aumenta più velocemente di quello con potenza minore di 1 (es. ).

• La funzione esponenziale tende all'infinito più velocemente di tutte le altre, invece la funzione è la più lenta.

• Vale pure che l'infinitesimo campione tende a 0 più lentamente di infinitesimi di ordine superiore al campione (es. , , etc).

Facciamo un esempio per il limite del rapporto di due funzioni.

Esempio 4

Consideriamo le due funzioni e così definite

Calcoliamo il limite del rapporto

da quanto riportato prima, nel caso di sarà sufficiente considerare solo i termini di grado massimo dei polinomi a numeratore e denominatore, per cui scriviamo

La figura seguente mostra il grafico delle due funzioni e del loro rapporto

Forme indeterminate che si ottengono dall’operazione .

Come ultimo caso consideriamo il limite dell’elevamento a potenza in relazione al valore che assumono i due singoli limiti di e . La tabella che segue illustra i casi che si possono avere, per che tende ad un punto finito o infinito (sia quando , sia quando ).