Approfondiamo in questo module alcune considerazioni che si possono fare in merito alla seguente equazione

detta forma esplicita dell’equazione di una retta.

Analizziamo, cioè, i vari casi che si possono presentare a seconda dei valori di e .

1. Caso in cui , la (1) si riscrive come

   

   in essa ritroviamo l’equazione di una retta per l’origine in forma esplicita.

2. Caso in cui , la (1) si riscrive come

   

   che rappresenta una retta parallela all’asse delle ascisse

3. Caso in cui ed anche , la (1) diventa

   

   e rappresenta proprio l’asse delle ascisse.

4. Caso in cui ed anche , riprendiamo l’equazione della retta passante per due punti data dalla forma

   

   e riscriviamola come

   

   da cui ricaviamo

   

   invertendo i segni ad ambo i membri

   

   

   da cui deduciamo che il coefficiente angolare della retta passante per due punti si può scrivere come

   

Consideriamo adesso che la (1) può anche essere considerata come una funzione definita

Prendiamo adesso due punti distinti di ascisse e , per i quali possiamo calcolare il valore della funzione come

allore definendo

e

la (3) diventa

La (4) si chiama rapporto incrementale o gradiente della funzione .

Sarà facile constatare che

• se cioè la è crescente per cui si ha

  

  

• se cioè la è decrescente per cui si ha