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Flessi

Un concetto conseguente e correlato a quello di convessità e concavità di una funzione è quello dei punti di flesso, che qui affronteremo.

Diamo subito la seguente

Definzione

Se in un punto Studenti/matematica della curva, la tangente in esso attraversa la curva, cioè il punto separa la parte convessa dalla parte concava diremo che é un punto di flesso.

Teorema 1

Se Studenti/matematica é dotata di derivata prima e seconda in ogni punto di un intervallo aperto Studenti/matematica e si ha:

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

allora la curva ha un flesso in Studenti/matematica.

Dalla definizione e dal teorema precedenti discende anche:

Teorema 2

Se Studenti/matematica é dotata di derivata prima, seconda e successive cioé:

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

si possono avere i seguenti casi:

  1. Studenti/matematica pari allora

    se Studenti/matematica, allora Studenti/matematica è convessa in Studenti/matematica

    se Studenti/matematica, allora Studenti/matematica è concava in Studenti/matematica

  2. Studenti/matematica dispari allora

    se Studenti/matematica, allora Studenti/matematica ha un flesso in Studenti/matematica

    In particolare con Studenti/matematica se

    Studenti/matematica

    Studenti/matematica è un punto di flesso ascendente (discendente).

Quindi se Studenti/matematica é convessa (concavità verso l'alto) o concava (concavità verso il basso) in Studenti/matematica lo é in ogni punto di Studenti/matematica e pertanto se la Studenti/matematica ha questa caratteristica vuol dire che la derivata seconda ha segno costante in Studenti/matematica.