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Fasci di parabole

Anche per le parable è interesse provare a scrivere l’equazione del fascio di parabole, così come fatto per le rette e le circonferenze.

Date le parabole

Studenti/matematica
Studenti/matematica

scriviamole in forma implicita

Studenti/matematica
Studenti/matematica

e scriviamo la combinazione lineare delle due espressioni ottenute

Studenti/matematica
1

con Studenti/matematica reale.

Riscriviamo adesso la (1) di nuovo in funzione di y:

Studenti/matematica

e per Studenti/matematica abbiamo

Studenti/matematica
2

Si vede immediatamente che se Studenti/matematica, la (2) rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse Studenti/matematica.

In particolare al variare del parametro Studenti/matematica la (1) rappresenta un fascio di parabole, dove Studenti/matematica e Studenti/matematica sono le generatrici del fascio.

Si hanno inoltre le seguenti condizioni.

  1. Se le generatrici Studenti/matematica e Studenti/matematica hanno due punti in comune, questi rappresentano i punti base e per essi passano tutte le parabole del fascio. Inoltre se Studenti/matematica e Studenti/matematica abbiamo

    Studenti/matematica

    che rappresenta la retta base se vi sono i punti base.

  2. Se le generatrici Studenti/matematica e Studenti/matematica sono tangenti in un punto Studenti/matematica ad una retta, cioé hanno due punti coincidenti in Studenti/matematica, tutte le parabole saranno tangenti alla stessa retta in Studenti/matematica.

    Se poniamo a sistema Studenti/matematica e Studenti/matematica i punti base si ottengono risolvendo l'equazione

    Studenti/matematica
    3

    essa rappresenta l'equazione risolvente il sistema fra due parabole del fascio in corrispondenza a due valori distinti di Studenti/matematica della (1).

In sintesi, un fascio di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse Studenti/matematica viene individuato con una equazione del tipo:

Studenti/matematica

Considerando adesso la (3), da essa, risolvendola, possiamo ricavare le ascisse dei punti base. Procediamo con un esempio.

Esempio 1

Determinare l’equazione del fascio di parabole ottenuto dalle generatrici

Studenti/matematica
Studenti/matematica

trovare i punti base, le eventuali parabole degeneri e la parabola tangente alla retta

Studenti/matematica

Per determinare i punti base mettiamo a sistema le due equazioni Studenti/matematica e Studenti/matematica

Studenti/matematica

da cui ricaviamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

per cui i punti base sono

Studenti/matematica

Il fascio ha equazione:

Studenti/matematica

sviluppando possiamo riscriverlo come

Studenti/matematica

da cui otteniamo:

  • per Studenti/matematica sia ha Studenti/matematica, da cui ricaviamo Studenti/matematica

  • per Studenti/matematica sia ha Studenti/matematica, da cui ricaviamo Studenti/matematica e Studenti/matematica

Per questi valori di Studenti/matematica quindi il fascio é rappresentato dalle parabole degeneri:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Per avere la parabola del fascio tangente alla retta Studenti/matematica imponiamo la condizione di tangenza dopo aver intersecato la retta col fascio:

Studenti/matematica

sostituendo la Studenti/matematica presa dalla prima equazione nella seconda abbiamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

il cui Studenti/matematica risulta essere

Studenti/matematica

Imponendo la condizione di tangenza, ossia Studenti/matematica otteniamo i valori di Studenti/matematica da sostituire nell’equazione del fascio

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Come già visto per Studenti/matematica si ha la parabola degenere Studenti/matematica, mentre per Studenti/matematica abbiamo la parabola

Studenti/matematica

rappresentata in figura

Studenti/matematica