Anche per le parable è interesse provare a scrivere l’equazione del fascio di parabole, così come fatto per le rette e le circonferenze.
Date le parabole
scriviamole in forma implicita
e scriviamo la combinazione lineare delle due espressioni ottenute
con reale.
Riscriviamo adesso la (1) di nuovo in funzione di y:
e per abbiamo
Si vede immediatamente che se , la (2) rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse .
In particolare al variare del parametro la (1) rappresenta un fascio di parabole, dove e sono le generatrici del fascio.
Si hanno inoltre le seguenti condizioni.
-
Se le generatrici e hanno due punti in comune, questi rappresentano i punti base e per essi passano tutte le parabole del fascio. Inoltre se e abbiamo
che rappresenta la retta base se vi sono i punti base.
-
Se le generatrici e sono tangenti in un punto ad una retta, cioé hanno due punti coincidenti in , tutte le parabole saranno tangenti alla stessa retta in .
Se poniamo a sistema e i punti base si ottengono risolvendo l'equazione
essa rappresenta l'equazione risolvente il sistema fra due parabole del fascio in corrispondenza a due valori distinti di della (1).
In sintesi, un fascio di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse viene individuato con una equazione del tipo:
Considerando adesso la (3), da essa, risolvendola, possiamo ricavare le ascisse dei punti base. Procediamo con un esempio.
Esempio 1
Determinare l’equazione del fascio di parabole ottenuto dalle generatrici
trovare i punti base, le eventuali parabole degeneri e la parabola tangente alla retta
Per determinare i punti base mettiamo a sistema le due equazioni e
da cui ricaviamo
per cui i punti base sono
Il fascio ha equazione:
sviluppando possiamo riscriverlo come
da cui otteniamo:
-
per sia ha , da cui ricaviamo
-
per sia ha , da cui ricaviamo e
Per questi valori di quindi il fascio é rappresentato dalle parabole degeneri:
Per avere la parabola del fascio tangente alla retta imponiamo la condizione di tangenza dopo aver intersecato la retta col fascio:
sostituendo la presa dalla prima equazione nella seconda abbiamo
il cui risulta essere
Imponendo la condizione di tangenza, ossia otteniamo i valori di da sostituire nell’equazione del fascio
Come già visto per si ha la parabola degenere , mentre per abbiamo la parabola
rappresentata in figura