Affrontiamo in questo modulo lo studio dei fasci di circonferenze, ossia quegli insiemi di infinite circonferenze che hanno in comune uno stesso centro oppure i cui centri giacciono su una stessa retta. Si comprende intuitivamente che tali fasci sono, di fatto, rappresentati da equazioni parametriche che consentono, al variare dei parametri, di individuare una qualsiasi circonferenza del fascio.

Consideriamo quindi due circonferenze non concentriche e di equazioni

δ e vengono dette generatrici del fascio. Consideriamo la combinazione lineare delle due equazioni δ e

con parametro reale.

La (1) può essere scritta nella forma

con .

Possono presentarsi diversi casi che andiamo ad esaminare nel dettaglio, sebbene non se ne riportano le dimostrazioni complete perché alquanto complesse.

1. Le due circonferenze e sono secanti.

   Indichiamo con e i punti comuni, poiché essi appartengono alle due circonferenze soddisfano anche l’equazione del fascio (1). Inoltre tutte le circonferenze del fascio passano per i due punti che si dicono punti base del fascio.

   In questo caso, se consideriamo il valore la (2) perde i termini quadratici e rappresenta la retta per i due punti e , detta asse radicale di equazione

   

   In definitiva in questo primo caso, l’equazione del fascio si può ottenere come combinazione lineare di una delle circonferenze del fascio per e e l’asse radicale ossia:

   

2. Le due circonferenze δ e sono tangenti.

   Indichiamo con il punto di tangenza e con la tangente in comune. Il fascio é costituito da tutte le circonferenze per tangenti in alla retta , é detto il punto base. L'equazione del fascio possiamo ottenerla sia come combinazione delle due circonferenze che come combinazione di una di esse con la retta per che é, anche in questo caso, l'asse radicale che riscriviamo di seguito

   

3. Le due circonferenze e sono concentriche.

   Questo significa che hanno equazioni uguali tranne che per il termine noto, ossia

   

   

   In questo caso scriviamo l'equazione del fascio a partire dalla (2) che riportiamo nella forma

   

   e poi dividendo tutto per (1+k) abbiamo

   

   la (4) rappresenta una circonferenza concentrica a e di centro che é anche il centro delle circonferenze concentriche. Per la (4) fornisce l’equazione di una circonferenza che chiamiamo prima generatrice e non abbiamo nessun altra generatrice per alcun valore assegnato a .

4. Le due circonferenze e non hanno punti in comune e non sono concentriche.

   Il fascio generato da e ottenuto come combinazione lineare delle due sarà, costituito da circonferenze non concentriche e non aventi punti in comune.

Esempio

Determinare l’equazione della circonferenza passante per , e nel fascio di circonferenze passanti per e .

Una generatrice la possiamo trovare considerando la circonferenza di diametro , e possiamo calcolare l’asse radicale che sarà l’altra generatrice.

Il centro della circonferenza di diametro é il punto medio del diametro, cioé il punto , il raggio lo possiamo calcolare come la distanza tra i due punti e

Possiamo ora scrivere l’equazione della circonferenza di centro e raggio noti:

svolgendo abbiamo

Per determinare l’asse radicale per e usiamo la formula per il calcolo di una retta passante per due punti, ricordando che l’asse radicale è la retta che passa per i due punti comuni a tutte le circonferenze del fascio, quindi e nel nostro caso. Pertanto si ha l’equazione:

Possiamo ora scrivere l’equazione del fascio come combinazione lineare della circonferenza e dell’asse radicale, otteniamo così

L’equazione della circonferenza per , , si ricava imponendo il passaggio del punto nell’equazione del fascio, quindi:

da cui ricaviamo

sostituendo il valore di nell’equazione del fascio otteniamo la circonferenza per i tre punti dati

La figura seguente illustra la soluzione