In probabilità si definisce evento il manifestarsi di un fenomeno o, equivalentemente, il risultato di un esperimento.
Vediamo adesso come si definiscono gli eventi e quali operazioni possiamo fare su di essi.
Eventi
L’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento aleatorio è chiamato spazio campionario (oppure spazio delle probabilità, spazio fondamentale, spazio degli eventi o spazio campione). Come si è detto, i singoli risultati vengono chiamati eventi elementari. Nonostante lo spazio fondamentale sia noto prima di osservare il fenomeno, o effettuare l'esperimento, non si può individuare con certezza quale evento elementare si realizzerà. Una volta osservato il fenomeno, o effettuato l'esperimento, uno e un solo evento elementare si sarà realizzato.
Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio campionario , cioè , allora gli eventi elementari sono supposti disgiunti in senso insiemistico.
L’evento si definisce evento certo se ed evento impossibile se
Questi sono alcuni esempi di eventi:
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l’esperimento del lancio di una moneta ammette come spazio delle probabilità l’insieme S={Testa, Croce} e gli eventi elementari sono {Testa} e {Croce}
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l’esperimento dell’estrazione di una pallina - bianca o nera - da un’urna contenente palline bianche e nere ammette come spazio delle probabilità l’insieme S={Bianca, Nera} e gli eventi elementari sono {Bianca} e {Nera}
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l’esperimento del lancio di un dado ammette come spazio delle probabilità l’insieme S={1, 2, 3, 4, 5, 6} e gli eventi elementari sono {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e{6}
Nel caso del lancio di un dado, l’evento “esce un numero dispari” comprende tre eventi elementari: “esce il numero 1”, “esce il numero 3” ed “esce il numero 5”.
Dal momento che gli eventi sono insiemi, ogni affermazione concernente gli eventi può essere tradotta nel linguaggio della teoria degli insiemi e viceversa.
Usando le operazioni insiemistiche sugli eventi di , si possono ottenere nuovi eventi di .
Operazioni sugli eventi
Dati due eventi ed dello spazio delle probabilità S ( ed ), si possono considerare i seguenti eventi, sottoinsiemi di :
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evento unione (o evento somma) : evento che risulta dal verificarsi di almeno uno dei due eventi ed
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evento intersezione (o evento prodotto) : evento che risulta dal verificarsi contemporaneo di entrambi gli eventi ed ;
Due eventi si dicono incompatibili se l’evento intersezione è l’insieme vuoto, cioè se non possono verificarsi contemporaneamente: .
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evento complementare : evento che risulta dal non verificarsi dell’evento .
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evento differenza : evento che risulta dal verificarsi dell’evento e dal non verificarsi dell’evento .
Due eventi e sono mutualmente esclusivi, o incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.
Se gli eventi e sono mutualmente esclusivi, allora essi sono disgiunti nel senso insiemistico, cioè .
Per il seguito sarà utile ricordare alcune proprietà delle operazioni insiemistiche.