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Eventi e operazioni tra eventi

In probabilità si definisce evento il manifestarsi di un fenomeno o, equivalentemente, il risultato di un esperimento.

Vediamo adesso come si definiscono gli eventi e quali operazioni possiamo fare su di essi.

Eventi

L’insieme Studenti/matematica di tutti i possibili risultati di un esperimento aleatorio è chiamato spazio campionario (oppure spazio delle probabilità, spazio fondamentale, spazio degli eventi o spazio campione). Come si è detto, i singoli risultati vengono chiamati eventi elementari. Nonostante lo spazio fondamentale sia noto prima di osservare il fenomeno, o effettuare l'esperimento, non si può individuare con certezza quale evento elementare si realizzerà. Una volta osservato il fenomeno, o effettuato l'esperimento, uno e un solo evento elementare si sarà realizzato.

Si chiama evento ogni sottoinsieme Studenti/matematica dello spazio campionario Studenti/matematica, cioè Studenti/matematica, allora gli eventi elementari sono supposti disgiunti in senso insiemistico.

L’evento Studenti/matematica si definisce evento certo se Studenti/matematica ed evento impossibile se Studenti/matematica

Questi sono alcuni esempi di eventi:

  • l’esperimento del lancio di una moneta ammette come spazio delle probabilità l’insieme S={Testa, Croce} e gli eventi elementari sono {Testa} e {Croce}

  • l’esperimento dell’estrazione di una pallina - bianca o nera - da un’urna contenente palline bianche e nere ammette come spazio delle probabilità l’insieme S={Bianca, Nera} e gli eventi elementari sono {Bianca} e {Nera}

  • l’esperimento del lancio di un dado ammette come spazio delle probabilità l’insieme S={1, 2, 3, 4, 5, 6} e gli eventi elementari sono {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e{6}

Nel caso del lancio di un dado, l’evento “esce un numero dispari” comprende tre eventi elementari: “esce il numero 1”, “esce il numero 3” ed “esce il numero 5”.

Dal momento che gli eventi sono insiemi, ogni affermazione concernente gli eventi può essere tradotta nel linguaggio della teoria degli insiemi e viceversa.

Usando le operazioni insiemistiche sugli eventi di Studenti/matematica, si possono ottenere nuovi eventi di Studenti/matematica.

Operazioni sugli eventi

Dati due eventi Studenti/matematica ed Studenti/matematica dello spazio delle probabilità S (Studenti/matematica ed Studenti/matematica), si possono considerare i seguenti eventi, sottoinsiemi di Studenti/matematica:

  1. evento unione (o evento somma) Studenti/matematica: evento che risulta dal verificarsi di almeno uno dei due eventi Studenti/matematica ed Studenti/matematica

    Studenti/matematica
  2. evento intersezione (o evento prodotto) Studenti/matematica: evento che risulta dal verificarsi contemporaneo di entrambi gli eventi Studenti/matematica ed Studenti/matematica;

    Studenti/matematica

    Due eventi si dicono incompatibili se l’evento intersezione è l’insieme vuoto, cioè se non possono verificarsi contemporaneamente: Studenti/matematica.

    Studenti/matematica
  3. evento complementare Studenti/matematica: evento che risulta dal non verificarsi dell’evento Studenti/matematica.

    Studenti/matematica
  4. evento differenza Studenti/matematica: evento che risulta dal verificarsi dell’evento Studenti/matematica e dal non verificarsi dell’evento Studenti/matematica.

Due eventi Studenti/matematica e Studenti/matematica sono mutualmente esclusivi, o incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.

Se gli eventi Studenti/matematica e Studenti/matematica sono mutualmente esclusivi, allora essi sono disgiunti nel senso insiemistico, cioè Studenti/matematica.

Per il seguito sarà utile ricordare alcune proprietà delle operazioni insiemistiche.

Studenti/matematica