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Equazioni logaritmiche

Si dicono equazioni logaritmiche quelle equazioni in cui l’incognita figura nell’argomento di uno o più logaritmi.

Per risolverle, si cerca di ottenere un solo logaritmo sia prima che dopo l’uguaglianza in modo da poter ricondurre l’equazione logaritmica ad un’equazione negli argomenti dei logaritmi. Si osservi che durante tale operazione di riduzione è fondamentale tener presente che l’argomento del logaritmo deve sempre essere maggiore di zero.

Volendo schematizzare il processo di risoluzione di equazioni logaritmiche, si può procede con i seguenti passi:

    1. si imposta un sistema ponendo tutti gli argomenti dei logaritmi maggiori di zero

    2. si risolve il sistema di disequazioni trovando così l’intervallo in cui le soluzioni dell’equazione logaritmica sono accettabili

    3. si determinano le soluzioni dell'equazione logaritmica

    4. si verifica che le soluzioni appartengano all’intervallo di validità

Esempio 1

Si consideri l’equazione logaritmica

Studenti/matematica
1

Passo 1)

Si imposta il sistema ponendo tutti gli argomenti dei logaritmi maggiori di zero:

Studenti/matematica
2

Passo 2)

Si risolve il sistema di disequazioni trovando così l’intervallo in cui le soluzioni dell’equazione logaritmica sono accettabili:

Studenti/matematica
3
Studenti/matematica
4

Trattandosi di un sistema di disequazioni, l’intervallo di validità coincide con l’intervallo in cui sono soddisfatte entrambe le disequazioni, ossia Studenti/matematica

Studenti/matematica

Passo 3)

Si determinano le soluzioni dell’equazione logaritmica.

Si passa dunque a risolvere la (1). Per la proprietà (3) dei logaritmi si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Uguagliando gli argomenti e risolvendo l’equazione fratta con i metodi consueti, si ha (si noti che la condizione Studenti/matematica è già contemplata nella (3)):

Studenti/matematica
Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

Passo 4)

Si verifica che le soluzioni appartengano all’intervallo di validità.

La soluzione Studenti/matematica e si può concludere che la soluzione è accettabile.

Esempio 2

Si consideri l'equazione logaritmica

Studenti/matematica
5

Passo 1)

Si imposta il sistema ponendo tutti gli argomenti dei logaritmi maggiori di zero:

Studenti/matematica
6

Passo 2)

Si risolve il sistema di disequazioni trovando così l’intervallo in cui le soluzioni dell’equazione logaritmica sono accettabili:

Studenti/matematica
7

da cui

Studenti/matematica
8

Trattandosi di un sistema di disequazioni, l’intervallo di validità coincide con l’intervallo in cui sono soddisfatte entrambe le disequazioni, ossia Studenti/matematica

Studenti/matematica

Passo 3)

Si determinano le soluzioni dell’equazione logaritmica.

Si passa dunque a risolvere la (5). Poichè i logaritmi hanno base diversa si procede con il cambiamento di base. In questo caso conviene trasformare il secondo logaritmo da base 4 a base 2. Pertanto, utilizzando la formula per il passaggio di base di un logaritmo (Studenti/matematica), si ha:

Studenti/matematica

La (5) si scrive:

Studenti/matematica

Per la proprietà (3) dei logaritmi si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Uguagliando gli argomenti e risolvendo l’equazione irrazionale con i metodi consueti, si ha (si noti che la condizione Studenti/matematica è già inclusa nella (6)):

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Passo 4)

Si verifica che le soluzioni appartengano all’intervallo di validità.

La soluzione Studenti/matematica non appartiene all’intervallo Studenti/matematica e, dunque, non è accettabile.

La soluzione Studenti/matematica invece, appartiene all’intervallo Studenti/matematica e, pertanto, è accettabile.