L’equazione canonica dell’ellisse vista in altri moduli si riferisce ad una ellisse che ha centro nell’origine degli assi e semiassi posti lungo gli assi cartesiani. Ovviamente una generica ellisse può avere centro qualsiasi e semiassi in qualsiasi posizione del piano. Vediamo ora un’altra tipologia particolare di ellissi, ossia quelle che hanno gli assi paralleli agli assi cartesiani e cerchiamo la loro equazione generale.

Scriviamo l’equazione di un’ellisse avente origine in un sistema cartesiano . L’ellisse risulterà avere i semiassi sugli assi cartesiani del sistema e dunque la sua equazione canonica sarà

Ora riscriviamo tale equazione traslata nel sistema di riferimento , ossia eseguiamo una traslazione che porta in , ricordando la formule della traslazione degli assi

Utilizzando la (3) riporteremo l’equazione dalle coordinate , alle coordinate , . Abbiamo così

Ricordiamo ora che e sono i semiassi della curva, per cui dobbiamo considerare i due casi, ossia oppure .

Se i fuochi giacciono sul semiasse , ed esso sarà parallelo all'asse che ha equazione . Le coordinate dei fuochi, essendo il punto medio del segmento congiungente i fuochi saranno:

con

Se allora i fuochi giacciono sul semiasse , ed esso sarà parallelo all’asse che ha equazione . Le coordinate dei fuochi, essendo il punto medio del segmento congiungente i fuochi saranno:

con

Infine, per ottenere l’equazione dobbiamo sviluppare la (4) e avremo così un’equazione di secondo grado nei coefficienti e . Dopo aver posto:

con e , avremo

che é l’equazione di un’ellisse con gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani.

Esempio 1

Scrivere l’equazione dell’ellisse con assi di simmmetria paralleli agli assi cartesiani con centro e con i semiassi di misura 1 e 3. Individuare poi le coordinate dei fuochi.

Supponiamo che l'asse maggiore sia parallelo all'asse cioé e , i fuochi si troveranno sulla retta , utilizziamo l'equazione dell'ellisse

abbiamo

quindi otteniamo

poiché

per cui i fuochi risultano essere

Allo stesso modo si procede se l’asse maggiore é parallelo all'asse cioè e con i fuochi sulla retta abbiamo infatti:

quindi otteniamo

poiché

quindi come nel caso precedente risulta

Infine, i fuochi sono:

Esempio 2

Trovare il centro i fuochi e i semiassi dell’ellisse di equazione

Possiamo scrivere l’equazione nella forma:

Questa equazione rappresenta un’elllisse di centro con i semiassi e e con gli assi di simmetria paralleli agli assi coordinati, essendo l’asse maggiore é parallelo all'asse , i fuochi si trovano sulla retta .

Essendo

avremo per i fuochi le coordinate