Per studiare al meglio questa lezione, è necessario che tu apprenda prima le seguenti nozioni:
chiudiUna volta finita questa lezione potrai studiare:
chiudiSi dice ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali é costante il valore assoluto della somma delle distanze da due punti fissati detti fuochi.

Indicati con e
i due fuochi e
un punto del luogo, in base alla definizione deve essere

La (1) può assumere la forma

quando alla costante diamo un valore ben definito. Al segmento
anch’esso costante diamo il valore
. Il triangolo
per le sue proprietà ci consente di poter scrivere


ossia

Le principali proprietà come la dimensione e la forma di un’ellisse sono determinate da due costanti reali positive, in genere chiamate e
. Quella che tra le due risulta maggiore sarà pari alla lunghezza del semiasse maggiore, l’altra sarà pari alla lunghezza del semiasse minore.
Teorema
La retta passante per i fuochi
di un un’ellisse e l’asse del segmento
sono assi di simmetria della curva.
Teorema
Il punto medio del segmento é il centro di simmetria dell’ellisse, ad esso si dà il nome di centro dell’ellisse.
Vediamo adesso come si determina l’equazione dell’ellisse, espressa anch’essa in funzione delle costanti e
sopra introdotte. Dalla definizione del luogo dei punti sopra riportata, ne deriva che dobbiamo eguagliare la somma delle distanze fra i due fuochi
ed
e un punto generico
con il doppio del semiasse maggiore


Una particolare ellisse è quella che ha il centro nell'origine degli assi e i fuochi sull’asse delle (cioè quando
) nei punti
e
. La sua equazione si dice equazione canonica o normale dell’ellisse. Vediamo come si può ricavare da quanto fin qui detto.
Se i fuochi hanno coordinate e
considerando un generico punto dell'ellisse
la (4) si può riscrivere così

da cui, dopo una serie di operazioni di elevamento al quadrato e semplificazioni, si ottiene

valendo la condizione (3), possiamo scrivere

posto ora

risulta

da cui ricaviamo

e dividendo per si ottiene

La (6) è appunto detta equazione canonica dell’ellisse con centro nell’origine degli assi e asse maggiore posto sull’asse delle (quindi con
).
Ora vediamo come possiamo riscrivere le coordinate dei fuochi. Riprendendo la (5) possiamo ancora scrivere

quindi essendo

abbiamo

ossia


Se i fuochi dell'ellisse sono sull'asse e, quindi, anche l’asse maggiore e posto lungo l’asse
, indicando i fuochi come
possiamo ripercorrere gli stessi passi di sopra e riscrivere l’equazione dell’ellisse. In questo caso partiamo nuovamente dalla (2) dove al posto di
mettiamo

la (4) diventa

e dopo analoghi calcoli si giunge alle espressioni




da cui si ottiene ancora l’equazione canonica

per riscrivere i fuochi consideriamo


ed essendo possia estrarre la radice quadrata, scrivendo così

Esempio
Data l’ellisse di equazione

determinare gli assi, la distanza focale, i fuochi ed i vertici della curva.
Prima di tutto scriviamo l’equazione nella forma canonica

quindi

da cui ricaviamo e
come


essendo l'asse maggiore é sull'asse
e misura

mentre l'asse minore è

essendo


ricaviamo come


la distanza focale é

I vertici hanno coordinate




i fuochi hanno coordinate

