Si dice ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali é costante il valore assoluto della somma delle distanze da due punti fissati detti fuochi.

Indicati con e i due fuochi e un punto del luogo, in base alla definizione deve essere

La (1) può assumere la forma

quando alla costante diamo un valore ben definito. Al segmento anch’esso costante diamo il valore . Il triangolo per le sue proprietà ci consente di poter scrivere

ossia

Le principali proprietà come la dimensione e la forma di un’ellisse sono determinate da due costanti reali positive, in genere chiamate e . Quella che tra le due risulta maggiore sarà pari alla lunghezza del semiasse maggiore, l’altra sarà pari alla lunghezza del semiasse minore.

Vediamo adesso come si determina l’equazione dell’ellisse, espressa anch’essa in funzione delle costanti e sopra introdotte. Dalla definizione del luogo dei punti sopra riportata, ne deriva che dobbiamo eguagliare la somma delle distanze fra i due fuochi ed e un punto generico con il doppio del semiasse maggiore

Una particolare ellisse è quella che ha il centro nell'origine degli assi e i fuochi sull’asse delle (cioè quando ) nei punti e . La sua equazione si dice equazione canonica o normale dell’ellisse. Vediamo come si può ricavare da quanto fin qui detto.

Se i fuochi hanno coordinate e considerando un generico punto dell'ellisse la (4) si può riscrivere così

da cui, dopo una serie di operazioni di elevamento al quadrato e semplificazioni, si ottiene

valendo la condizione (3), possiamo scrivere

posto ora

risulta

da cui ricaviamo

e dividendo per si ottiene

La (6) è appunto detta equazione canonica dell’ellisse con centro nell’origine degli assi e asse maggiore posto sull’asse delle (quindi con ).

Ora vediamo come possiamo riscrivere le coordinate dei fuochi. Riprendendo la (5) possiamo ancora scrivere

quindi essendo

abbiamo

ossia

Se i fuochi dell'ellisse sono sull'asse e, quindi, anche l’asse maggiore e posto lungo l’asse , indicando i fuochi come possiamo ripercorrere gli stessi passi di sopra e riscrivere l’equazione dell’ellisse. In questo caso partiamo nuovamente dalla (2) dove al posto di mettiamo

la (4) diventa

e dopo analoghi calcoli si giunge alle espressioni

da cui si ottiene ancora l’equazione canonica

per riscrivere i fuochi consideriamo

ed essendo possia estrarre la radice quadrata, scrivendo così

Esempio

Data l’ellisse di equazione

determinare gli assi, la distanza focale, i fuochi ed i vertici della curva.

Prima di tutto scriviamo l’equazione nella forma canonica

quindi

da cui ricaviamo e come

essendo l'asse maggiore é sull'asse e misura

mentre l'asse minore è

essendo

ricaviamo come

la distanza focale é

I vertici hanno coordinate

i fuochi hanno coordinate