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Dominio di una funzione

Lo studio di funzione è un processo composto da molti passi, tutti indispensabili per giungere ad una completa conoscenza della funzione oggetto di studio. Determinare il dominio di una funzione è appunto il primo calcolo che si esegue. Introduciamo subito la definizione di funzione.

Definizione

Si dice funzione una relazione tra due insiemi Studenti/matematica e Studenti/matematica che associa ad ogni elemento di Studenti/matematica uno ed un solo elemeto di Studenti/matematica

Studenti/matematica

L’elemento Studenti/matematica è detto immagine di Studenti/matematica mediante Studenti/matematica e si indica con Studenti/matematica.

È subito evidente che il valore che assume la variabile Studenti/matematica dipende dal valore attribuito alla variabile Studenti/matematica. Per questo motivo, nel caso specifico, la variabile Studenti/matematica è detta variabile indipendente e Studenti/matematica variabile dipendente.

L'insieme di partenza Studenti/matematica è detto dominio della funzione ed è definito come l'insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile indipendente per ottenere il valore della variabile dipendente. Il sottoinsieme Studenti/matematica di Studenti/matematica contenente tutte le immagini di Studenti/matematica mediante Studenti/matematica è detto codominio della funzione.

Studenti/matematica

Una funzione si dice numerica quando i due insiemi Studenti/matematica e Studenti/matematica sono insiemi numerici, cioè coincidenti con l’insieme Studenti/matematica dei numeri reali o con uno dei suoi sottoinsiemi (Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica).

Tali funzioni vengono anche dette funzioni reali di variabile reale e sono descrivibili mediante un’espressione analitica, cioè tramite operazioni matematiche.

Le funzioni numeriche si classificano come nello schema di seguito riportato

Studenti/matematica

Si chiamano funzioni algebriche le funzioni in cui compaiono solo le operazioni dell’algebra e quelle che si ottengono per composizione di funzioni algebriche elementari esclusivamente attraverso operazioni dell’algebra. Nell’insieme delle funzioni algebriche si distinguono le funzioni razionali, nelle quali non compaiono operazioni di estrazione di radice, da quelle irrazionali ed in ciascuna di esse, a sua volta, si distinguono le funzioni intere, nelle quali non compaiono funzioni al denominatore, da quelle fratte.

Si chiamano funzioni trascendenti le funzioni che operano fuori dalle operazioni dell'algebra e quelle che si ottengono da esse per composizione, con qualunque tipo di operazione.

È opportuno anticipare che il dominio di una funzione numerica coincide con tutto l'asse reale solo nel caso delle funzioni algebriche razionali intere.