Si dicono disequazioni logaritmiche quelle disequazioni in cui l’incognita figura nell’argomento di uno o più logaritmi.
Per poterle risolvere è necessario ricondursi al grafico della funzione logaritmica sia con base maggiore di 1 che con base compresa fra 0 ed 1.
Le due figure che seguono riportano i grafici della funzione logaritmica nei due casi della base 
e 
, rispettivamente
Naturalmente, anche per la risoluzione delle disequazioni logaritmiche distinguiamo i due casi: 
e 
. In questo modulo trattiamo il secondo caso.
Nel caso in cui 
la curva logaritmica ha grafico come in figura 1 e quindi è decrescente.
Si procede come segue:
-
si impostano le condizioni di esistenza (argomento del logaritmo
) e si determina l'intervallo di validità delle soluzioni; -
si riconduce la disequazione assegnata ad una delle due seguenti forme:
Osservando il grafico in figura 1, è facile dedurre che:
se si riconduce la disequazione ad un’espressione di tipo
, poichè il logaritmo assume valori positivi per valori dell’argomento compresi tra 0 e 1, la condizione da porre sarà:
1 da cui
2 se, invece, la si riconduce ad un’espressione di tipo
, poichè il logaritmo assume valori negativi per valori dell’argomento maggiori di 1, la condizione da porre sarà:
3 -
si determinano le soluzioni della disequazione ricondotta alla forma (3) o (4);
-
si verifica che le soluzioni appartengano all'intervallo di validità.
Esempio 1
Si consideri la disequazione logaritmica
Si noti che la base del logaritmo è 
.
Passo 1)
Si impostano le condizioni di esistenza (argomento del logaritmo 
) e si determina l’intervallo di validità delle soluzioni;
Trattandosi di un sistema di disequazioni, l’intervallo di validità coincide intervallo in cui sono soddisfatte entrambe le disequazioni, ossia 
Passo 2)
Si riconduce la disequazione assegnata ad una delle due forme presenti in (1) utilizzando le proprietà dei logaritmi
Come già osservato, poichè la base del logaritmo è maggiore di 1 e la disequazione di partenza si è ricondotta alla forma 
della (1), la condizione da porre sull’argomomento del logaritmo è data dalla (3). Pertanto:
Passo 3)
Si determinano le soluzioni della disequazione ricondotta alla forma (6);
Come per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado, si individuano le radici del poliniomio 
:
Poichè il discriminante è positivo, la disequazione è soddisfatta per valori esterni alle radici: 
Passo 4)
Si verifica che le soluzioni appartengano all’intervallo di validità.
La soluzione 
non appartiene all’intervallo di validità 
e, dunque, non è accettabile.
La soluzione 
invece, appartiene all’intervallo di validità 
e, pertanto, è accettabile.
Esempio 2
Si consideri la disequazione logaritmica
Si noti che la base del logaritmo è 
.
Passo 1)
Si impostano le condizioni di esistenza (argomento del logaritmo
) e si determina l'intervallo di validità delle soluzioni;
Trattandosi di un sistema di disequazioni, l’intervallo di validità coincide intervallo in cui sono soddisfatte entrambe le disequazioni, ossia 
Passo 2)
Si riconduce la disequazione assegnata ad una delle due forme presenti in (1) utilizzando le proprietà dei logaritmi
Passo 3)
Si determinano le soluzioni della disequazione ricondotta alla forma (9);
Come già osservato, poichè la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1 e la disequazione di partenza è stata ricondotta alla forma 
della (1), la condizione da porre sull’argomomento del logaritmo è data dalla (3). Pertanto, si ha
in cui si è tenuto presente che la condizione 
è già espressa dalla condizione di esistenza del logaritmo (8). Pertanto la soluzione della (10) è data da tutti gli 
Passo 4)
Si verifica che le soluzioni appartengano all’intervallo di validità.
Poichè l’intervallo 
è contenuto nell’intervallo di validità 
si può concludere che le soluzioni sono tutte accettabili.