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Disequazioni logaritmiche (caso 0 < a < 1)

Si dicono disequazioni logaritmiche quelle disequazioni in cui l’incognita figura nell’argomento di uno o più logaritmi.

Per poterle risolvere è necessario ricondursi al grafico della funzione logaritmica sia con base maggiore di 1 che con base compresa fra 0 ed 1.

Le due figure che seguono riportano i grafici della funzione logaritmica nei due casi della base Studenti/matematica e Studenti/matematica, rispettivamente

Studenti/matematica
1
Studenti/matematica
2

Naturalmente, anche per la risoluzione delle disequazioni logaritmiche distinguiamo i due casi: Studenti/matematica e Studenti/matematica. In questo modulo trattiamo il secondo caso.

Nel caso in cui Studenti/matematica la curva logaritmica ha grafico come in figura 1 e quindi è decrescente.

Si procede come segue:

  1. si impostano le condizioni di esistenza (argomento del logaritmo Studenti/matematica) e si determina l'intervallo di validità delle soluzioni;

  2. si riconduce la disequazione assegnata ad una delle due seguenti forme:

    Studenti/matematica

    Osservando il grafico in figura 1, è facile dedurre che:

    se si riconduce la disequazione ad un’espressione di tipo Studenti/matematica, poichè il logaritmo assume valori positivi per valori dell’argomento compresi tra 0 e 1, la condizione da porre sarà:

    Studenti/matematica
    1

    da cui

    Studenti/matematica
    2

    se, invece, la si riconduce ad un’espressione di tipo Studenti/matematica, poichè il logaritmo assume valori negativi per valori dell’argomento maggiori di 1, la condizione da porre sarà:

    Studenti/matematica
    3
  3. si determinano le soluzioni della disequazione ricondotta alla forma (3) o (4);

  4. si verifica che le soluzioni appartengano all'intervallo di validità.

Esempio 1

Si consideri la disequazione logaritmica

Studenti/matematica
4

Si noti che la base del logaritmo è Studenti/matematica.

Passo 1)

Si impostano le condizioni di esistenza (argomento del logaritmo Studenti/matematica) e si determina l’intervallo di validità delle soluzioni;

Studenti/matematica
5
Studenti/matematica
6

Trattandosi di un sistema di disequazioni, l’intervallo di validità coincide intervallo in cui sono soddisfatte entrambe le disequazioni, ossia Studenti/matematica

Studenti/matematica

Passo 2)

Si riconduce la disequazione assegnata ad una delle due forme presenti in (1) utilizzando le proprietà dei logaritmi

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Come già osservato, poichè la base del logaritmo è maggiore di 1 e la disequazione di partenza si è ricondotta alla forma Studenti/matematica della (1), la condizione da porre sull’argomomento del logaritmo è data dalla (3). Pertanto:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
4

Passo 3)

Si determinano le soluzioni della disequazione ricondotta alla forma (6);

Come per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado, si individuano le radici del poliniomio Studenti/matematica:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Poichè il discriminante è positivo, la disequazione è soddisfatta per valori esterni alle radici: Studenti/matematica

Studenti/matematica

Passo 4)

Si verifica che le soluzioni appartengano all’intervallo di validità.

La soluzione Studenti/matematica non appartiene all’intervallo di validità Studenti/matematica e, dunque, non è accettabile.

La soluzione Studenti/matematica invece, appartiene all’intervallo di validità Studenti/matematica e, pertanto, è accettabile.

Esempio 2

Si consideri la disequazione logaritmica

Studenti/matematica
5

Si noti che la base del logaritmo è Studenti/matematica.

Passo 1)

Si impostano le condizioni di esistenza (argomento del logaritmoStudenti/matematica) e si determina l'intervallo di validità delle soluzioni;

Studenti/matematica
6
Studenti/matematica
7

Trattandosi di un sistema di disequazioni, l’intervallo di validità coincide intervallo in cui sono soddisfatte entrambe le disequazioni, ossia Studenti/matematica

Studenti/matematica

Passo 2)

Si riconduce la disequazione assegnata ad una delle due forme presenti in (1) utilizzando le proprietà dei logaritmi

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Passo 3)

Si determinano le soluzioni della disequazione ricondotta alla forma (9);

Come già osservato, poichè la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1 e la disequazione di partenza è stata ricondotta alla forma Studenti/matematica della (1), la condizione da porre sull’argomomento del logaritmo è data dalla (3). Pertanto, si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

in cui si è tenuto presente che la condizione Studenti/matematica è già espressa dalla condizione di esistenza del logaritmo (8). Pertanto la soluzione della (10) è data da tutti gli Studenti/matematica

Studenti/matematica

Passo 4)

Si verifica che le soluzioni appartengano all’intervallo di validità.

Poichè l’intervallo Studenti/matematica è contenuto nell’intervallo di validità Studenti/matematica si può concludere che le soluzioni sono tutte accettabili.