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Disequazioni esponenziali

Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita compare come esponente di una potenza.

Per risolvere le disequazioni esponenziali, come accade per le equazioni esponenziali, si cerca di ottenere una potenza con la stessa base sia al primo che al secondo membro.

Quando non è possibile farlo si cerca di trasformarla in una disequazione logaritmica in modo da poter operare un cambiamento di base.

Qui verranno presentati esempi in cui è sempre possibile ricondursi a potenze con la stessa base, in modo tale da risolvere la disequazione esponenziale come una disequazione "tradizionale".

Come già osservato nel modulo La funzione esponenziale relativo allo studio del grafico della funzione esponenziale Studenti/matematica, se Studenti/matematica la funzione è crescente in Studenti/matematica mentre se Studenti/matematica la funzione è decrescente in Studenti/matematica. Ciò implica che:

  1. se Studenti/matematica, qualunque siano i valori Studenti/matematica e Studenti/matematica con Studenti/matematica si ha:

    Studenti/matematica
  2. se Studenti/matematica, qualunque siano i valori Studenti/matematica e Studenti/matematica con Studenti/matematica si ha:

    Studenti/matematica

In generale, sussistono le seguenti equivalenze

se Studenti/matematica

Studenti/matematica

se Studenti/matematica

Studenti/matematica

È, però, banale osservare che la funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica può essere scritta come Studenti/matematicadove questa volta la base è maggiore di 1.

Questa osservazione permette di considerare solo disequazioni del tipo Studenti/matematicacon Studenti/matematica, riconducendo le disequazioni con base Studenti/matematica a disequazioni con base maggiore di 1. In altre parole, si ha

se Studenti/matematica

Studenti/matematica

se Studenti/matematica

Studenti/matematica
1

Esempio 1

Si consideri la disequazione

Studenti/matematica
2

Per quanto appena osservato, la (2) può essere riscritta nella forma:

Studenti/matematica

Pertanto, per la (1) si ha:

Studenti/matematica

Esempio 2

Si consideri la disequazione

Studenti/matematica
3

Per la proprietà 1 delle potenze (Studenti/matematica), la (3) si può scrivere

Studenti/matematica

da cui, sfruttando la (1) si ha:

Studenti/matematica

Cosi come si procede per le disequazioni di secondo grado, si individuano ora le radici del poliniomio Studenti/matematica. Esse sono:

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

Poichè il discriminante è positivo, la disequazione è soddisfatta per valori esterni alle radici: Studenti/matematica

Studenti/matematica