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Determinanti

Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato secondo un procedimento ben preciso a seconda dell’ordine della matrice.

Di seguito vengono esposte le formule di calcolo del determinante per matrici di ordine 1, 2 e 3 e le principali proprietà dei determinanti.

Determinante di una matrice 1x1

Assegnata la matrice Studenti/matematica di ordine 1

Studenti/matematica

il determinante della matrice Studenti/matematica coincide con l’unico elemento della matrice Studenti/matematica

Studenti/matematica

Ad esempio, data la matrice

Studenti/matematica

il suo determinante è

Studenti/matematica

Determinante di una matrice 2x2

Assegnata la matrice quadrata Studenti/matematica di ordine 2

Studenti/matematica

si definisce determinante di Studenti/matematica il numero reale ottenuto come differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e quello degli elementi dell’altra diagonale

Studenti/matematica
1

Esempio 1

Data la matrice

Studenti/matematica

il suo determinante è

Studenti/matematica

Determinante di una matrice 3x3

Assegnata la matrice quadrata Studenti/matematica di ordine 3

Studenti/matematica

si definisce determinante di Studenti/matematica il numero reale ottenuto come differenza della somma dei prodotti relativi alle diagonali discendenti e la somma dei prodotti relativi alle diagionali ascendenti

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Lo schema che segue può essere utile per ricostruire la formula di calcolo del determinante di una matrice Studenti/matematica (detta anche regola di Sarrus)

Studenti/matematica

Esempio 2

Data la matrice

Studenti/matematica

il suo determinante è

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

I determinanti delle matrici quadrate hanno diverse proprietà, vediamo le più importanti.

  • Se tutti gli elementi di una riga (di una colonna) sono nulli allora anche il determinante è nullo

  • Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato secondo un procedimento ben preciso a seconda dell’ordine della matrice.

    Di seguito vengono esposte le formule di calcolo del determinante per matrici di ordine 1, 2 e 3 e le principali proprietà dei determinanti.

    Determinante di una matrice 1x1

    Assegnata la matrice Studenti/matematica di ordine 1

    Studenti/matematica

    il determinante della matrice Studenti/matematica coincide con l’unico elemento della matrice Studenti/matematica

    Studenti/matematica

    Ad esempio, data la matrice

    Studenti/matematica

    il suo determinante è

    Studenti/matematica

    Determinante di una matrice 2x2

    Assegnata la matrice quadrata Studenti/matematica di ordine 2

    Studenti/matematica

    si definisce determinante di Studenti/matematica il numero reale ottenuto come differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e quello degli elementi dell’altra diagonale

    Studenti/matematica
    1

    Esempio 1

    Data la matrice

    Studenti/matematica

    il suo determinante è

    Studenti/matematica

    Determinante di una matrice 3x3

    Assegnata la matrice quadrata Studenti/matematica di ordine 3

    Studenti/matematica

    si definisce determinante di Studenti/matematica il numero reale ottenuto come differenza della somma dei prodotti relativi alle diagonali discendenti e la somma dei prodotti relativi alle diagionali ascendenti

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    Lo schema che segue può essere utile per ricostruire la formula di calcolo del determinante di una matrice Studenti/matematica (detta anche regola di Sarrus)

    Studenti/matematica

    Esempio 2

    Data la matrice

    Studenti/matematica

    il suo determinante è

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    I determinanti delle matrici quadrate hanno diverse proprietà, vediamo le più importanti.

    • Se tutti gli elementi di una riga (di una colonna) sono nulli allora anche il determinante è nullo

    • Scambiando fra loro due righe (due colonne) il determinante cambia di segno

    • Se in un determinante due righe (due colonne) sono uguali o proporzionali il determinante vale zero

    • Se moltiplico ogni elemento di una riga (colonna) per un numero reale c allora il valore del determinante viene moltiplicato per c

    • Se gli elementi di una riga (colonna) sono somma di due addendi allora il determinante è uguale alla somma dei determinanti delle matrici che hanno nella riga (colonna) come elementi il primo addendo ed il secondo addendo, rispettivamente

    • Il valore del determinante non cambia se sommo (sottraggo) ad una riga (colonna) una qualunque riga (colonna) parallela moltiplicata per un numero reale c

    • Il determinante di una matrice quadrata e della sua trasposta hanno lo stesso valore