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Derivate di alcune funzioni elementari e calcolo con le derivate

In questo modulo introduciamo le derivate di funzioni elementari, quali i polinomi, i logaritmi, le funzioni razionali, le funzioni trigonometriche, che risultano tutte derivabili, e poi alcune operazioni sulle derivate che consentono di semplificarne il calcolo.

Derivate di alcune funzioni elementari

Partendo dalla definizione di derivata (limite del rapporto incrementale) possiamo calcolare le derivate delle funzioni elementari.

Derivata di una costante

Data la funzione Studenti/matematica, si verifica che per ogni Studenti/matematica si ha

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica

ossia, la funzione costante ha derivata nulla.

Derivata della funzione identica

La funzione Studenti/matematica é derivabile essendo una funzione lineare e la sua derivata é

Studenti/matematica

in generale le derivate delle funzioni lineari sono alla fine delle funzioni costanti, ad esempio se Studenti/matematica, facendo il rapporto incrementale otterremmo

Studenti/matematica

Derivata della funzione potenza ad esponente positivo

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

applicando il rapporto incrementale e ricorrendo al binomio di Newton perveniamo alla seguente derivata

Studenti/matematica

Esempio

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

la sua derivata è

Studenti/matematica

Derivata della funzione logaritmica

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

il cui dominio sia Studenti/matematica. Applicando il rapporto incrementale e ricorrendo ad alcuni artifici algebrici ed alle successioni convergenti, si perviene alla seguente derivata

Studenti/matematica

se Studenti/matematica otteniamo:

Studenti/matematica

Derivata della funzione esponenziale

Prendiamo in esame la funzione

Studenti/matematica

il cui dominio sia Studenti/matematica. Applicando il rapporto incrementale e ricorrendo ad artifici algebrici, poiché la funzione é derivabile Studenti/matematica si perviene alla seguente derivata

Studenti/matematica

A questo risultato si può pervenire anche tenendo presente che la funzione esponenziale (Studenti/matematica) risulta essere l'inversa della funzione logaritmica (Studenti/matematica), quindi tramite le regole di derivazione di funzioni composte.

Per altre funzioni elementari rimandiamo alla tabella delle derivate fondamentali.

Calcolo con le derivate

Per semplificare la risoluzione del calcolo delle derivate di funzioni più complesse introduciamo ora alcune formule che si basano l’utilizzo dei teoremi sui limiti e che, in molti casi, semplificano notevolmente la determinazione delle derivate.

  1. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni derivabili in un intervallo Studenti/matematica allora anche la somma Studenti/matematica é derivabile in Studenti/matematica e si ha:

    Studenti/matematica

    In generale possiamo dire che: la derivata della somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni.

  2. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni derivabili in un intervallo Studenti/matematica allora anche la funzione prodotto Studenti/matematica é derivabile in Studenti/matematica e si ha:

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    In particolare se Studenti/matematica é la funzione costante Studenti/matematica si ha:

    Studenti/matematica

    Questa regola può essere estesa al prodotto di Studenti/matematica funzioni, come descritto dalla seguete regola.

  3. La derivata del prodotto di Studenti/matematica funzioni è uguale alla somma degli Studenti/matematica prodotti delle derivate delle singole funzioni per le rimanenti Studenti/matematica funzioni non derivate.

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
  4. Se Studenti/matematica é una funzione derivabile in un intervallo Studenti/matematica, allora anche la reciproca é derivabile nell'intervallo Studenti/matematica e si ha:

    Studenti/matematica
  5. Se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni derivabili in un intervallo Studenti/matematica, con Studenti/matematica allora anche la funzione quoziente é derivabile in Studenti/matematica e si ha:

    Studenti/matematica
  6. Se Studenti/matematica é una funzione derivabile in un intervallo Studenti/matematica e diversa da zero per ogni Studenti/matematica, osserviamo che per Studenti/matematica:

    Studenti/matematica