In questo modulo introduciamo le derivate di funzioni elementari, quali i polinomi, i logaritmi, le funzioni razionali, le funzioni trigonometriche, che risultano tutte derivabili, e poi alcune operazioni sulle derivate che consentono di semplificarne il calcolo.
Derivate di alcune funzioni elementari
Partendo dalla definizione di derivata (limite del rapporto incrementale) possiamo calcolare le derivate delle funzioni elementari.
Derivata di una costante
Data la funzione 
, si verifica che per ogni 
si ha
da cui
quindi
ossia, la funzione costante ha derivata nulla.
Derivata della funzione identica
La funzione 
é derivabile essendo una funzione lineare e la sua derivata é
in generale le derivate delle funzioni lineari sono alla fine delle funzioni costanti, ad esempio se 
, facendo il rapporto incrementale otterremmo
Derivata della funzione potenza ad esponente positivo
Consideriamo la funzione
applicando il rapporto incrementale e ricorrendo al binomio di Newton perveniamo alla seguente derivata
Esempio
Consideriamo la funzione
la sua derivata è
Derivata della funzione logaritmica
Consideriamo la funzione
il cui dominio sia 
. Applicando il rapporto incrementale e ricorrendo ad alcuni artifici algebrici ed alle successioni convergenti, si perviene alla seguente derivata
se 
otteniamo:
Derivata della funzione esponenziale
Prendiamo in esame la funzione
il cui dominio sia 
. Applicando il rapporto incrementale e ricorrendo ad artifici algebrici, poiché la funzione é derivabile 
si perviene alla seguente derivata
A questo risultato si può pervenire anche tenendo presente che la funzione esponenziale (
) risulta essere l'inversa della funzione logaritmica (
), quindi tramite le regole di derivazione di funzioni composte.
Per altre funzioni elementari rimandiamo alla tabella delle derivate fondamentali.
Calcolo con le derivate
Per semplificare la risoluzione del calcolo delle derivate di funzioni più complesse introduciamo ora alcune formule che si basano l’utilizzo dei teoremi sui limiti e che, in molti casi, semplificano notevolmente la determinazione delle derivate.
-
Se
e 
sono due funzioni derivabili in un intervallo 
allora anche la somma 
é derivabile in 
e si ha:
In generale possiamo dire che: la derivata della somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni.
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Se
e 
sono due funzioni derivabili in un intervallo 
allora anche la funzione prodotto 
é derivabile in 
e si ha:
In particolare se
é la funzione costante 
si ha:
Questa regola può essere estesa al prodotto di
funzioni, come descritto dalla seguete regola. -
La derivata del prodotto di
funzioni è uguale alla somma degli 
prodotti delle derivate delle singole funzioni per le rimanenti 
funzioni non derivate.
-
Se
é una funzione derivabile in un intervallo 
, allora anche la reciproca é derivabile nell'intervallo 
e si ha:
-
Se
e 
sono due funzioni derivabili in un intervallo 
, con 
allora anche la funzione quoziente é derivabile in 
e si ha:
-
Se
é una funzione derivabile in un intervallo 
e diversa da zero per ogni 
, osserviamo che per 
: