Le regole di derivazione consentono la derivazione di innumerevoli tipologie di funzioni, ma esistono delle classi diverse di funzioni che si possono ricavare dalla composizione di due o più funzioni. Vedremo qui proprio le regole per calcolare la derivata di funzioni composte.

Date due funzioni definita in un intervallo e definita in un intervallo , é possibile definire per ogni la funzione composta .

Diamo ora, senza dimostrarlo, il seguente teorema

Teorema

Se una funzione é derivabile in e la funzione é derivabile nel punto allora anche la funzione composta é derivabile in e risulta:

e poichè

È questa la regola di derivazione delle funzioni composte che può essere utilizzata anche per composizioni di più di due funzioni.

Applichiamo la (2) alla funzione cioè vediamo come si ottiene la regola di derivazione per:

dove e sono funzioni derivabili in e

Ricordando la definizione di logaritmo

possiamo dire che “una qualsiasi è uguale ad una base qualsiasi elevata al logaritmo base del numero stesso ”, ossia

da cui, se consideriamo la base possiamo scrivere come

pertanto

Quindi la si presenta come una funzione esponenziale per cui la sua derivata è data dalla seguente formula:

Esempio 1

Data la funzione

calcolarne la derivata.

Le funzioni che compongono la funzione sono tre: la funzione seno, la funzione logaritmica e la funzione polinomiale.

Applicando la (2), tenendo conto che abbiamo a che fare con tre funzioni e non due abbiamo

moltiplicando per la seconda funzione abbiamo

moltiplicando per la terza funzione

Si noti che la (3) può essere risolta utilizzando la regola della derivazione logaritmica alla funzione composta

sostituendo i logaritmi ai due membri

derivando ed applicando otteniamo ancora la (5)

Vediamo ora altri risultati particolari. Se consideriamo la funzione

da cui

otteniamo alla fine

Se con si ha:

In particolare se si ha

infine se abbiamo:

da cui segue

Esempio 2

Consideriamo la funzione

calcoliamone la derivata.

Essendo una funzione composta del tipo possiamo applicare la formula (5)

da cui essendo

e

otteniamo