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Derivata di funzioni composte

Le regole di derivazione consentono la derivazione di innumerevoli tipologie di funzioni, ma esistono delle classi diverse di funzioni che si possono ricavare dalla composizione di due o più funzioni. Vedremo qui proprio le regole per calcolare la derivata di funzioni composte.

Date due funzioni Studenti/matematica definita in un intervallo Studenti/matematica e Studenti/matematica definita in un intervallo Studenti/matematica, é possibile definire per ogni Studenti/matematica la funzione composta Studenti/matematica.

Diamo ora, senza dimostrarlo, il seguente teorema

Teorema

Se una funzione Studenti/matematica é derivabile in Studenti/matematica e la funzione Studenti/matematica é derivabile nel punto Studenti/matematica allora anche la funzione composta Studenti/matematica é derivabile in Studenti/matematica e risulta:

Studenti/matematica
1

e poichè Studenti/matematica

Studenti/matematica
2

È questa la regola di derivazione delle funzioni composte che può essere utilizzata anche per composizioni di più di due funzioni.

Applichiamo la (2) alla funzione Studenti/matematica cioè vediamo come si ottiene la regola di derivazione per:

Studenti/matematica
3

dove Studenti/matematica e Studenti/matematica sono funzioni derivabili in Studenti/matematica e Studenti/matematica

Ricordando la definizione di logaritmo

Studenti/matematica
4

possiamo dire che “una qualsiasi Studenti/matematica è uguale ad una base qualsiasi Studenti/matematica elevata al logaritmo base Studenti/matematica del numero stesso Studenti/matematica”, ossia

Studenti/matematica

da cui, se consideriamo la base Studenti/matematica possiamo scrivere Studenti/matematica come

Studenti/matematica

pertanto

Studenti/matematica

Quindi la Studenti/matematica si presenta come una funzione esponenziale per cui la sua derivata è data dalla seguente formula:

Studenti/matematica
5

Esempio 1

Data la funzione

Studenti/matematica

calcolarne la derivata.

Le funzioni che compongono la funzione sono tre: la funzione seno, la funzione logaritmica e la funzione polinomiale.

Applicando la (2), tenendo conto che abbiamo a che fare con tre funzioni e non due abbiamo

Studenti/matematica

moltiplicando per la seconda funzione abbiamo

Studenti/matematica

moltiplicando per la terza funzione

Studenti/matematica

Si noti che la (3) può essere risolta utilizzando la regola della derivazione logaritmica alla funzione composta

Studenti/matematica

sostituendo i logaritmi ai due membri

Studenti/matematica

derivando ed applicando otteniamo ancora la (5)

Studenti/matematica

Vediamo ora altri risultati particolari. Se consideriamo la funzione

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

otteniamo alla fine

Studenti/matematica

Se Studenti/matematica con Studenti/matematica si ha:

Studenti/matematica

In particolare se Studenti/matematica si ha

Studenti/matematica

infine se Studenti/matematica abbiamo:

Studenti/matematica
6

da cui segue

Studenti/matematica

Esempio 2

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

calcoliamone la derivata.

Essendo una funzione composta del tipo Studenti/matematica possiamo applicare la formula (5)

Studenti/matematica

da cui essendo

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

otteniamo

Studenti/matematica