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Definizione di probabilità matematica

Il calcolo delle probabilità si propone di associare ad ogni evento un numero, denominato probabilità dell’evento, che consente di esprimere quantitativamente il grado di fiducia sul verificarsi dell'evento.

Esistono “diversi modi” con i quali è possibile definire la probabilità di un evento. Tuttavia, per il seguito si adotterà la definizione classica di probabilità matematica, dovuta a Bernoulli e Laplace, e si darà solo un cenno alle altre definizioni di probabilità.

Alla definizione di probabilità matematica è utile premettere qualche esempio.

Si consideri l’esperimento “lancio di due monete”. Si tratta di un esperimento aleatorio i cui risultati possibili possono riassumersi “nell’uscita” delle coppie “Testa, Testa”, “Testa, Croce” e “Croce, Croce”.

La probabilità di ciascuno dei tre eventi si può ricavare analizzando i possibili risultati che il lancio delle due monete può produrre.

I possibili risultati dell’esperimento sono:

  1. al lancio della prima moneta esce Testa, al lancio della seconda moneta esce Testa

  2. al lancio della prima moneta esce Testa, al lancio della seconda moneta esce Croce

  3. al lancio della prima moneta esce Croce, al lancio della seconda moneta esce Testa

  4. al lancio della prima moneta esce Croce, al lancio della seconda moneta esce Croce

Naturalmente, se il gioco è onesto, cioè la moneta non è truccata, i quattro possibili risultati si considerano egualmente probabili, e quindi ognuno ha probabilità di verificarsi pari al 25%.

Pertanto, “Testa, Testa” e “Croce, Croce” si ottengono ciascuno in corrispondenza di uno solo dei possibili risultati, rispettivamente quelli evidenziati in 1) e 4); invece “Testa, Croce” e “Croce, Testa” si ottengono in corrispondenza dei due risultati possibili 2) e 3).

Dunque, si hanno 3 possibili eventi riferiti all’esperimento “lancio di due monete”:

  1. “Testa, Testa” che ha probabilità di verificarsi pari a 25%;

  2. “Croce, Croce”che ha probabilità di verificarsi pari a 25%;

  3. “Testa, Croce” che ha probabilità di verificarsi pari a 50%

Allora, se si dovesse scommettere sui risultati dell’esperimento “lancio di due monete” converrebbe puntare sul risultato “Testa, Croce”.

Implicitamente, nel precedente esempio si è “probabilizzato” ciascun evento elementare a partire dal complesso degli eventi possibili descritti in 1), 2), 3) e 4).

La probabilità matematica

Introduciamo la seguente definizione

Definizione

Si definisce probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili.

Pertanto, indicata con Studenti/matematica la probabilità di un evento Studenti/matematica, si ha:

Studenti/matematica
1

La probabilità di un evento viene assegnata con il seguente procedimento:

  1. si determina il numero di tutti i casi possibili;

  2. si determina il numero dei casi favorevoli, cioè di quei casi che rendono verificato l'evento di cui si vuole calcolare la probabilità;

  3. si calcola il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.

Secondo questa definizione, ogni probabilità è un numero compreso tra 0 e 1. Inoltre, la probabilità di un evento impossibile è 0 e la probabilità di un evento certo è 1.

Esempio 1

Calcolare la probabilità, lanciando un dado, di ottenere un numero superiore a 4.

Si osservi che nel lancio di un dado si può ottenere un numero superiore a 4 solo se esce 5 oppure 6, quindi si hanno 2 casi favorevoli.

I casi possibili sono 6 (le sei facce del dado). Pertanto, utilizzando la (4), si ha:

Studenti/matematica
2

Facendo uso del calcolo combinatorio è possibile risolvere problemi più complessi:

Esempio 2

Un sacchetto contiene 50 palline, 20 bianche e 30 rosse. Calcolare la probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano entrambe rosse.

Poichè le palline vengono estratte contemporaneamente non conta l'ordine, pertanto, si farà ricorso alle combinazioni. I casi possibili sono tutte le coppie non ordinate che si possono formare con le 50 pallineStudenti/matematica; i casi favorevoli sono tutte le coppie non ordinate che si possono formare con le palline rosse Studenti/matematica.

Pertanto, utilizzando la (1) e ricordando le formule per il calcolo delle combinazioni si ha:

Studenti/matematica
3

Dalla definizione (1) emerge che la teoria classica della probabilità è una teoria “a priori”, ossia indica la probabilità che un evento ha di verificarsi prima ancora che l’evento accada, nell’ipotesi in cui tutti gli eventi siano ugualmente probabili.

Ebbene, nella realtà, non è sempre possibile parlare di eventi ugualmente probabili, poiché si possono incontrare problemi in cui il numero di risultati possibili è infinito. In questi casi è, quindi, necessario introdurre nuovi concetti per poterli affrontare.