Iniziamo col dare una definizione intuitiva del concetto di limite attraverso un esempio concreto.

Esempio

Consideriamo la funzione:

ricordiamo che é il dominio di questa funzione che per comodità indichiamo con e studiamo il suo comportamento in un intorno di in cui non é definita. Si noti che é un punto di accumulazione di .

Se assegnassimo a valori sempre più prossimi a sinistra (per difetto) di e a destra (per eccesso) di , potremmo notare che i valori della funzione si indirizzano verso il valore . Si osservino i valori riportati in tabella

Quindi, intuitivamente si può comprendere che per valori della che si avvicinano al punto di accumulazione la funzione si avvicina al valore .

Osservando bene la funzione si comprende che la si può scrivere, dopo alcuni semplici passaggi algebrici, anche nella forma:

pertanto é questo il grafico di una retta di equazione escluso il punto di coordinate come si vede nella figura

Pertanto, possiamo concludere dicendo che, dall’osservazione fatta, il limite per che tende a della funzione vale e scriveremo:

Diamo ora la definizione formale di limite.

Definizione

Sia , con incluso in , e ed due numeri reali. Il limite di , per é , oppure che tende ad quando tende a e scriviamo:

quando, fissato un intorno di , é sempre possibile trovare in corrispondenza ad esso, un intorno di tale che

Visualizziamo ora questa definizione attraverso tre immagini che ci aiutano a chiarire la precedente definizione, introdotta da Weiestrass, che appare poco semplice e non intuitiva.

Introduciamo ora il “Teorema sulla unicità del limite”.

Passiamo ora alla definizione fondamentale che verrà utilizzata per la verifica del limite. Indicando con un intorno di e con un intorno di , possiamo sintetizzare come segue

se fissato un esiste un numero reale tale che

Quindi significa dire che appartiene a un intorno di e appartiene a un intorno di , dove e assumono il significato di intorno. Volendo chiarire, operativamente abbiamo:

NOTA: si può cercare il limite di una funzione in un solo punto tale che in un intorno di esso cadano infiniti punti del dominio, ciò si esplicita dicendo che deve essere un punto di accumulazione del dominio della funzione.