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Definizione di limite

Iniziamo col dare una definizione intuitiva del concetto di limite attraverso un esempio concreto.

Esempio

Consideriamo la funzione:

Studenti/matematica

ricordiamo che Studenti/matematica é il dominio di questa funzione che per comodità indichiamo con Studenti/matematica e studiamo il suo comportamento in un intorno di Studenti/matematica in cui non é definita. Si noti che Studenti/matematica é un punto di accumulazione di Studenti/matematica.

Se assegnassimo a Studenti/matematica valori sempre più prossimi a sinistra (per difetto) di Studenti/matematica e a destra (per eccesso) di Studenti/matematica, potremmo notare che i valori della funzione si indirizzano verso il valore Studenti/matematica. Si osservino i valori riportati in tabella

Studenti/matematica

Quindi, intuitivamente si può comprendere che per valori della Studenti/matematica che si avvicinano al punto di accumulazione Studenti/matematica la funzione si avvicina al valore Studenti/matematica.

Osservando bene la funzione Studenti/matematica si comprende che la si può scrivere, dopo alcuni semplici passaggi algebrici, anche nella forma:

Studenti/matematica

pertanto é questo il grafico di una retta di equazione Studenti/matematica escluso il punto di coordinate Studenti/matematica come si vede nella figura

Studenti/matematica

Pertanto, possiamo concludere dicendo che, dall’osservazione fatta, il limite per Studenti/matematica che tende a Studenti/matematicadella funzione Studenti/matematica vale Studenti/matematica e scriveremo:

Studenti/matematica

Diamo ora la definizione formale di limite.

Definizione

Sia Studenti/matematica, con Studenti/matematica incluso in Studenti/matematica, e Studenti/matematica ed Studenti/matematica due numeri reali. Il limite di Studenti/matematica, per Studenti/matematica é Studenti/matematica, oppure che Studenti/matematica tende ad Studenti/matematica quando Studenti/matematica tende a Studenti/matematica e scriviamo:

Studenti/matematica

quando, fissato un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica, é sempre possibile trovare in corrispondenza ad esso, un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica tale che

Studenti/matematica

Visualizziamo ora questa definizione attraverso tre immagini che ci aiutano a chiarire la precedente definizione, introdotta da Weiestrass, che appare poco semplice e non intuitiva.

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Introduciamo ora il “Teorema sulla unicità del limite”.

Teorema

Se una funzione Studenti/matematica ammette per Studenti/matematica tendente a Studenti/matematica un limite Studenti/matematica, questo é unico.

Passiamo ora alla definizione fondamentale che verrà utilizzata per la verifica del limite. Indicando con Studenti/matematica un intorno di Studenti/matematica e con Studenti/matematica un intorno di Studenti/matematica, possiamo sintetizzare come segue

Studenti/matematica

se fissato un Studenti/matematica esiste un numero reale Studenti/matematica tale che

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Quindi significa dire che Studenti/matematica appartiene a un intorno di Studenti/matematica e Studenti/matematica appartiene a un intorno di Studenti/matematica, dove Studenti/matematica e Studenti/matematica assumono il significato di intorno. Volendo chiarire, operativamente abbiamo:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

NOTA: si può cercare il limite di una funzione in un solo punto Studenti/matematica tale che in un intorno di esso cadano infiniti punti del dominio, ciò si esplicita dicendo cheStudenti/matematica deve essere un punto di accumulazione del dominio della funzione.