Le funzioni continue sono caratterizzate dall’avere una stretta correlazione tra il valore che la funzione assume in un punto 
e i valori nei “dintorni” di 
, in altre parole nel punto 
la funzione coincide col suo limite. Formalizzando questa definizione, più rigorosamente si può scrivere:
Definizione
Sia 
punto di accumulazione di 
ed 
con 
si intende dire che 
é continua in 
se
Dalla proprietà dei limiti relativa alla funzione 
possiamo dire che
e ponendo 
con 
possiamo esprimere la continuità di 
anche così:
ed infine
La definizione introdotta ha carattere locale ma può essere estesa ed avere validità globale. Infatti, possiamo dare le seguenti ulteriori definizioni.
Definizione
Una funzione si dice continua in un intervallo quando è continua in ogni punto dell'intervallo
Definizione
Una funzione si dice continua se é continua in ogni punto del dominio di appartenenza.
Dalle operazioni sui limiti e dalla definizione di continuità in un punto si possono trarre le seguenti considerazioni:
-
se
e 
sono due funzioni entrambe continue in 
, anche la loro somma 
e il loro prodotto 
sono funzioni continue in 
-
se
e 
sono continue in 
e 
, anche il quoziente 
è una funzione continua in
-
se
e 
sono continue in 
e 
, anche la potenza 
è una funzione continua in 
Da quanto detto si deducono facilmente i seguenti risultati.
La funzione 
è continua. Infatti, basta usare una qualsiasi delle definizioni di sopra, ad esempio
e considerare che per qualsiasi 
si ha sempre
La funzione 
è continua. Infatti, usando la definizione
è immediato verificare che per un qualsiasi 
e 
si ha 
, per cui
La funzione 
con 
è continua. Infatti consideriamo la definizione
e riscriviamola per un generico punto 
Infine, usando la proprietà 2 sopra riportata, risulta facile verificare che la funzione 
è continua, in quanto la possiamo scrivere come il prodotto di 
volte la funzione 
, ossia 
quindi per la 2. essendo continua la funzione 
, risulta continua anche 
.
Le funzioni razionali sono continue in tutti i punti del loro campo di definizione ad esclusione dei valori che annullano il denominatore.
Se 
e 
sono due funzioni continue tali che esista, per 
appartenente a un intervallo 
, la funzione composta 
, allora anch’essa é continua.
Senza dimostrarli, enunciamo ora tre importanti teoremi che hanno ricadute in svariate applicazioni.
Teorema di Weiestrass
Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato 
é dotata di minimo e di massimo.
Teorema dei valori intermedi
Una funzione continua in un intervallo 
, limitato, assume tutti i valori compresi tra il minimo 
ed il massimo 
.
Teorema di esistenza degli zeri
Se una funzione continua in un intervallo 
assume in due punti 
e 
di 
valori di segno opposto, esiste almeno un punto interno all'intervallo 
in cui la funzione vale zero.
Riportiamo qui un utile richiamo alle funzioni crescenti e decrescenti.
Una funzione definita in un intervallo 
si dice crescente (decrescente) in 
se per ogni coppia di punti 
si verifica che se
allora
