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Definizione di continuità

Le funzioni continue sono caratterizzate dall’avere una stretta correlazione tra il valore che la funzione assume in un punto Studenti/matematica e i valori nei “dintorni” di Studenti/matematica, in altre parole nel punto Studenti/matematica la funzione coincide col suo limite. Formalizzando questa definizione, più rigorosamente si può scrivere:

Definizione

Sia Studenti/matematica punto di accumulazione di Studenti/matematica ed Studenti/matematica con Studenti/matematica si intende dire che Studenti/matematica é continua in Studenti/matematica se

Studenti/matematica

Dalla proprietà dei limiti relativa alla funzione Studenti/matematica possiamo dire che

Studenti/matematica

e ponendo Studenti/matematica con Studenti/matematica possiamo esprimere la continuità di Studenti/matematica anche così:

Studenti/matematica

ed infine

Studenti/matematica

La definizione introdotta ha carattere locale ma può essere estesa ed avere validità globale. Infatti, possiamo dare le seguenti ulteriori definizioni.

Definizione

Una funzione si dice continua in un intervallo quando è continua in ogni punto dell'intervallo

Definizione

Una funzione si dice continua se é continua in ogni punto del dominio di appartenenza.

Dalle operazioni sui limiti e dalla definizione di continuità in un punto si possono trarre le seguenti considerazioni:

  1. se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni entrambe continue in Studenti/matematica, anche la loro somma Studenti/matematica e il loro prodotto Studenti/matematica sono funzioni continue in Studenti/matematica

  2. se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono continue in Studenti/matematica e Studenti/matematica, anche il quoziente Studenti/matematica è una funzione continua inStudenti/matematica

  3. se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono continue in Studenti/matematica e Studenti/matematica, anche la potenza Studenti/matematica è una funzione continua in Studenti/matematica

Da quanto detto si deducono facilmente i seguenti risultati.

La funzione Studenti/matematica è continua. Infatti, basta usare una qualsiasi delle definizioni di sopra, ad esempio

Studenti/matematica

e considerare che per qualsiasi Studenti/matematica si ha sempre

Studenti/matematica

La funzione Studenti/matematica è continua. Infatti, usando la definizione

Studenti/matematica

è immediato verificare che per un qualsiasi Studenti/matematica e Studenti/matematica si ha Studenti/matematica, per cui

Studenti/matematica

La funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica è continua. Infatti consideriamo la definizione

Studenti/matematica

e riscriviamola per un generico punto Studenti/matematica

Studenti/matematica

Infine, usando la proprietà 2 sopra riportata, risulta facile verificare che la funzione Studenti/matematica è continua, in quanto la possiamo scrivere come il prodotto di Studenti/matematica volte la funzione Studenti/matematica, ossia Studenti/matematica quindi per la 2. essendo continua la funzione Studenti/matematica, risulta continua anche Studenti/matematica.

Le funzioni razionali sono continue in tutti i punti del loro campo di definizione ad esclusione dei valori che annullano il denominatore.

Se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni continue tali che esista, per Studenti/matematica appartenente a un intervallo Studenti/matematica, la funzione composta Studenti/matematica, allora anch’essa é continua.

Senza dimostrarli, enunciamo ora tre importanti teoremi che hanno ricadute in svariate applicazioni.

Teorema di Weiestrass

Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato Studenti/matematica é dotata di minimo e di massimo.

Teorema dei valori intermedi

Una funzione continua in un intervallo Studenti/matematica, limitato, assume tutti i valori compresi tra il minimo Studenti/matematica ed il massimo Studenti/matematica.

Teorema di esistenza degli zeri

Se una funzione continua in un intervallo Studenti/matematica assume in due punti Studenti/matematica e Studenti/matematica di Studenti/matematica valori di segno opposto, esiste almeno un punto interno all'intervallo Studenti/matematica in cui la funzione vale zero.

Riportiamo qui un utile richiamo alle funzioni crescenti e decrescenti.

Una funzione Studenti/matematica definita in un intervallo Studenti/matematica si dice crescente (decrescente) in Studenti/matematica se per ogni coppia di punti Studenti/matematica si verifica che se

Studenti/matematica

allora

Studenti/matematica