L’introduzione delle coordinate cartesiane permette di realizzare una relazione profonda tra enti geometrici e enti dell’algebra ciò consentirà di risolvere innumerevoli problemi geometrici con l’ausilio dell’algebra.
Consideriamo un piano e due rette numeriche e con punto di intersezione delle due rette. Le due rette e vengono definite, rispettivamente, asse delle ascisse e si indica con la lettere ed asse delle ordinate e si indica con la lettera .
Scelto un punto e le proiezioni di sulle rette e , indicate rispettivemente con e , chiamiamo l'ascissa di e l'ordinata di su e . Con queste premesse diciamo che associamo ad ogni punto una coppia ordinata di numeri reali e, vale l'associazione inversa (ad ogni coppia ordinata associamo un punto ). In simboli diciamo
I punti e hanno, rispettivamente, ordinata e ascissa nulle cioé , .
In tal modo si é costruito un sistema di coordinate cartesiane e, se le rette del piano sono ortogonali e fissiamo sugli entrambi gli assi la stessa unità di misura il sistema é anche detto monometrico.
L'origine ha coordinate .
Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro aree chiamate quadranti.
Come si vede in figura,
è facile ricavere le seguenti condizioni
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se il punto si trova nel primo quadrante allora ,
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se il punto si trova nel secondo quadrante allora ,
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se il punto si trova nel terzo quadrante allora ,
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se il punto si trova nel quarto quadrante allora ,
Esempio 1
Disegnare i seguenti punti nel piano cartesiano
Seguendo le regole sopra descritte individuiamo il quadrante in cui collocare ciascun punto studiando il segno delle rispettive coordinate.
Il punto ha entrambe le coordinate positive, quindi si colloca nel primo quadrante.
Il punto ha ascissa negativa e ordinata positiva, quindi si colloca nel secondo quadrante.
Il punto ha entrambe le coordinate negative quindi si colloca nel terzo quadrante.
Il punto ha l’ascissa positiva e l’ordinata negativa, quindi si colloca nel quarto quadrante.
Questo il grafico dei punti sul piano cartesiano
Infine, si possono citare ulteriori condizioni, anche in questo caso facilmente deducibili dalla figura che segue:
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Detta una generica retta parallela all’asse , tutti i suoi punti hanno la stessa ordinata
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Detta una generica retta parallela all'asse , tutti i suoi punti hanno la stessa ascissa
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La retta risulta essere la bisettrice del primo e terzo quadrante e tutti i suoi punti hanno ascissa e ordinata uguale
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La retta risulta essere la bisettrice del secondo e quarto quadrante e tutti i suoi punti hanno ascissa e ordinata opposta .