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Coordinate cartesiane

L’introduzione delle coordinate cartesiane permette di realizzare una relazione profonda tra enti geometrici e enti dell’algebra ciò consentirà di risolvere innumerevoli problemi geometrici con l’ausilio dell’algebra.

Consideriamo un piano Studenti/matematica e due rette numeriche Studenti/matematica e Studenti/matematica con Studenti/matematica punto di intersezione delle due rette. Le due rette Studenti/matematica e Studenti/matematica vengono definite, rispettivamente, asse delle ascisse e si indica con la lettere Studenti/matematica ed asse delle ordinate e si indica con la lettera Studenti/matematica.

Scelto un punto Studenti/matematica e le proiezioni di Studenti/matematica sulle rette Studenti/matematica e Studenti/matematica, indicate rispettivemente con Studenti/matematica e Studenti/matematica, chiamiamo Studenti/matematica l'ascissa di Studenti/matematica e Studenti/matematica l'ordinata di Studenti/matematica su Studenti/matematica e Studenti/matematica. Con queste premesse diciamo che associamo ad ogni punto Studenti/matematica una coppia ordinata Studenti/matematica di numeri reali e, vale l'associazione inversa (ad ogni coppia ordinata associamo un punto Studenti/matematica). In simboli diciamo

Studenti/matematica

I punti Studenti/matematica e Studenti/matematica hanno, rispettivamente, ordinata e ascissa nulle cioé Studenti/matematica, Studenti/matematica.

Studenti/matematica

In tal modo si é costruito un sistema di coordinate cartesiane e, se le rette del piano sono ortogonali e fissiamo sugli entrambi gli assi la stessa unità di misura il sistema é anche detto monometrico.

Studenti/matematica

L'origine Studenti/matematica ha coordinate Studenti/matematica.

Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro aree chiamate quadranti.

Come si vede in figura,

Studenti/matematica

è facile ricavere le seguenti condizioni

  • se il punto Studenti/matematica si trova nel primo quadrante allora Studenti/matematica, Studenti/matematica

  • se il punto Studenti/matematica si trova nel secondo quadrante allora Studenti/matematica, Studenti/matematica

  • se il punto Studenti/matematica si trova nel terzo quadrante allora Studenti/matematica, Studenti/matematica

  • se il punto Studenti/matematica si trova nel quarto quadrante allora Studenti/matematica, Studenti/matematica

Esempio 1

Disegnare i seguenti punti nel piano cartesiano

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Seguendo le regole sopra descritte individuiamo il quadrante in cui collocare ciascun punto studiando il segno delle rispettive coordinate.

Il punto Studenti/matematica ha entrambe le coordinate positive, quindi si colloca nel primo quadrante.

Il punto Studenti/matematica ha ascissa negativa e ordinata positiva, quindi si colloca nel secondo quadrante.

Il punto Studenti/matematica ha entrambe le coordinate negative quindi si colloca nel terzo quadrante.

Il punto Studenti/matematica ha l’ascissa positiva e l’ordinata negativa, quindi si colloca nel quarto quadrante.

Questo il grafico dei punti sul piano cartesiano

Studenti/matematica

Infine, si possono citare ulteriori condizioni, anche in questo caso facilmente deducibili dalla figura che segue:

Studenti/matematica
  • Detta Studenti/matematica una generica retta parallela all’asse Studenti/matematica, tutti i suoi punti hanno la stessa ordinata Studenti/matematica

  • Detta Studenti/matematica una generica retta parallela all'asse Studenti/matematica, tutti i suoi punti hanno la stessa ascissa Studenti/matematica

  • La retta Studenti/matematica risulta essere la bisettrice del primo e terzo quadrante e tutti i suoi punti hanno ascissa e ordinata uguale Studenti/matematica

  • La retta Studenti/matematica risulta essere la bisettrice del secondo e quarto quadrante e tutti i suoi punti hanno ascissa e ordinata opposta Studenti/matematica.