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Continuità delle funzioni derivabili

Affrontiamo qui il problema della continuità delle funzioni derivabili. Ricordiamo che entrambe le definizioni, quella di continuità, e quella di derivabilità di una funzione si basano sul concetto di limite, sebbene siano, ovviamente, due definizioni differenti. Riportiamole qui per comodità

continuità:

Studenti/matematica

derivabilità:

Studenti/matematica

Discende facilmente che dalla somiglianza delle definizioni precedenti possiamo correlare i concetti di continuità e derivabilità. Ma bisogna prestare attenzione, perché ciò è vero ma non deve far supporre che una funzione continua è anche necessariamente derivabile, mentre è vero il viceversa. Infatti, possiamo ora enunciare questo teorema, di cui ne tralasciamo la dimostrazione.

Teorema

Se una funzione Studenti/matematica é derivabile in Studenti/matematica allora é anche continua in Studenti/matematica.

Differentemente, è importante evidenziare anche la validità della seguente proposizione: una funzione può essere continua in un punto Studenti/matematica, senza essere derivabile in Studenti/matematica.

Dalla dimostrazione del teorema precedente, che non abbiamo dato, si esclude pertanto che il limite del rapporto incrementale possa essere infinito.

Ora, se esiste

Studenti/matematica

significa anche che Studenti/matematica può tendere a 0 sia da sinistra che da destra e quindi i limiti:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

devono esistere e coincidere, vale a dire

Studenti/matematica

Al contrario, se accade che

Studenti/matematica

la funzione non é derivabile in Studenti/matematicaed il punto Studenti/matematica si dice punto angoloso.

Si noti che i polinomi in una variabile e le funzioni razionali fratte sono funzioni continue come le funzioni goniometriche, e lo sono anche le funzioni esponenziali e le logaritmiche intese come inverse delle esponenziali. Le funzioni irrazionali sono continue se il radicando é un polinomio in tutti i punti del loro dominio.

Esempio

Consideriamo la funzione Studenti/matematica. Risulta continua in tutto Studenti/matematica, quindi anche in Studenti/matematica, dove però non é derivabile in quanto le derivate sinistra e destra non coincidono

Studenti/matematica

Quindi concludiamo dicendo che il punto Studenti/matematica è un punto angoloso per Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Da quanto detto precedentemente sulla derivabilità di una funzione, se

Studenti/matematica

la funzione non é derivabile in Studenti/matematicae la curva ha in Studenti/matematica un punto di flesso a tangente verticale.