Affrontiamo qui il problema della continuità delle funzioni derivabili. Ricordiamo che entrambe le definizioni, quella di continuità, e quella di derivabilità di una funzione si basano sul concetto di limite, sebbene siano, ovviamente, due definizioni differenti. Riportiamole qui per comodità

continuità:

derivabilità:

Discende facilmente che dalla somiglianza delle definizioni precedenti possiamo correlare i concetti di continuità e derivabilità. Ma bisogna prestare attenzione, perché ciò è vero ma non deve far supporre che una funzione continua è anche necessariamente derivabile, mentre è vero il viceversa. Infatti, possiamo ora enunciare questo teorema, di cui ne tralasciamo la dimostrazione.

Differentemente, è importante evidenziare anche la validità della seguente proposizione: una funzione può essere continua in un punto , senza essere derivabile in .

Dalla dimostrazione del teorema precedente, che non abbiamo dato, si esclude pertanto che il limite del rapporto incrementale possa essere infinito.

Ora, se esiste

significa anche che può tendere a 0 sia da sinistra che da destra e quindi i limiti:

devono esistere e coincidere, vale a dire

Al contrario, se accade che

la funzione non é derivabile in ed il punto si dice punto angoloso.

Si noti che i polinomi in una variabile e le funzioni razionali fratte sono funzioni continue come le funzioni goniometriche, e lo sono anche le funzioni esponenziali e le logaritmiche intese come inverse delle esponenziali. Le funzioni irrazionali sono continue se il radicando é un polinomio in tutti i punti del loro dominio.

Esempio

Consideriamo la funzione . Risulta continua in tutto , quindi anche in , dove però non é derivabile in quanto le derivate sinistra e destra non coincidono

Quindi concludiamo dicendo che il punto è un punto angoloso per .

Da quanto detto precedentemente sulla derivabilità di una funzione, se

la funzione non é derivabile in e la curva ha in un punto di flesso a tangente verticale.