Per determinare le intersezioni tra una retta ed una ellisse, ossia le condizioni di tangenza tra retta ed ellisse, possiamo usare lo stesso procedimento adottato nel caso della retta e della circonferenza.
Prendiamo in esame il sistema formato dalle equazioni dell'ellisse in forma canonica e di una generica retta in forma esplicita
dobbiamo individuare le eventuali soluzioni che si ottengono dalla intersezione fra le due equazioni. Sviluppando il sistema otteniamo l'equazione risolvente:
poichè il coefficiente di secondo grado è sicuramente 
, troviamo il discriminante dell’equazione (1), che chiameremo 
e verifichiamo i casi che si possono avere.
Si possono verificare le seguenti condizioni:
-
, allora abbiamo due soluzioni reali e coincidenti, quindi la retta é tangente all’ellisse -
, allora abbiamo due soluzioni distinte, quindi la retta é secante l’ellisse -
, allora non si ha nessuna soluzione, quindi la retta é esterna all’ellisse
Il procedimento per determinare le equazioni delle tangenti ad una ellisse condotte da un punto esterno si risolve nell’imporre la condizione di tangenza, cioé uguaglindo a zero il 
dell’equazione risolvente il sistema. Si ottiene così un’equazione di secondo grado da cui ricaviamo i valori dei coefficienti angolari delle rette tangeti alla curva.
Esempio 1
Trovare le intersezioni dell’ellisse di equazione
con le rette
Impostiamo il sistema tra l'equazione della curva e della retta 
sostituiamo nella prima equazione la y della seconda equazione
le cui soluzioni sono
quindi possiamo dire che la retta 
é secante ed i punti di intersezione con l'ellisse sono 
e 
.
Risolviamo ora il sistema relativo a 
le cui soluzioni sono reali e coincidenti, ossia
quindi la retta 
é tangente ed il punto di tangenza con l'ellisse é
Esempio 2
Trovare le equazioni delle tangenti condotte da 
all'ellisse di equazione
Scriviamo l'equazione della generica retta per A
quindi
e l'equazione risolvente é
imponendo la condizione di tangenza 
abbiamo
che sono i coefficienti angolari delle due tangenti condotte dal punto 
alla curva; abbiamo pertanto
In punti di tangenza si trovano risolvendo i sistemi tra ciascuna delle tangenti e l’equazione dell’ellisse.
Infine, tracciamo il grafico di tutti gli elementi del problema
