Data una funzione 
derivabile in ogni punto di un intervallo aperto 
, dato un punto 
di 
e
corrispondente di 
sulla curva grafico di 
si può dare la seguente definizione.
Definizione
Diciamo che la 
è convessa (ha la concavità verso l’alto) in un punto 
di 
se il grafico di 
si trova tutto al di sopra della tangente alla curva nel punto 
.
Scriviamo l’equazione della tangente alla curva in un punto 
essa é:
quindi la 
è convessa se abbiamo
Definizione
Diciamo che la 
è concava (ha la concavità verso il basso) in un punto 
di 
se il grafico di 
si trova tutto al di sotto della tangente alla curva nel punto 
.
In modo analogo a quanto fatto per la convessità, se 
é concava scrivendo l’equazione della tangente nel punto 
possiamo dire che la funzione è concava se abbiamo
Tenendo conto di quanto fin qui detto, diamo questo importante teorema dal punto di vista applicativo, senza fornire la dimostrazione.
Teorema
Se una funzione 
é dotata di derivata prima e seconda in ogni punto di un intervallo aperto 
allora si ha:
-
, allora 
è convessa in 
-
, allora 
è concava in 
Da questo ultimo teorema si ricava un metodo pratico per determinare la convessità (concavità) di una funzione
Esempio
Consideriamo la funzione
Studiamone la convessità e concavità.
Dobbiamo calcolare la derivata seconda e studiarne il segno.
Risolviamo la semplice disequazione
da cui si ricava che
quindi
è convessa per 
è concava per 
verifichiamo quanto calcolato disegnando il grafico della funzione
mentre il grafico della derivata seconda risulta essere
