Studenti

cerca

Concavità e convessità

Data una funzione Studenti/matematica derivabile in ogni punto di un intervallo aperto Studenti/matematica, dato un punto Studenti/matematica di Studenti/matematica eStudenti/matematica corrispondente di Studenti/matematica sulla curva grafico di Studenti/matematica si può dare la seguente definizione.

Definizione

Diciamo che la Studenti/matematica è convessa (ha la concavità verso l’alto) in un punto Studenti/matematica di Studenti/matematica se il grafico di Studenti/matematica si trova tutto al di sopra della tangente alla curva nel punto Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Scriviamo l’equazione della tangente alla curva in un punto Studenti/matematica essa é:

Studenti/matematica

quindi la Studenti/matematica è convessa se abbiamo

Studenti/matematica
1

Definizione

Diciamo che la Studenti/matematica è concava (ha la concavità verso il basso) in un punto Studenti/matematica di Studenti/matematica se il grafico di Studenti/matematica si trova tutto al di sotto della tangente alla curva nel punto Studenti/matematica.

Studenti/matematica

In modo analogo a quanto fatto per la convessità, se Studenti/matematica é concava scrivendo l’equazione della tangente nel punto Studenti/matematica possiamo dire che la funzione è concava se abbiamo

Studenti/matematica
2

Tenendo conto di quanto fin qui detto, diamo questo importante teorema dal punto di vista applicativo, senza fornire la dimostrazione.

Teorema

Se una funzione Studenti/matematica é dotata di derivata prima e seconda in ogni punto di un intervallo aperto Studenti/matematica allora si ha:

  • Studenti/matematica, allora Studenti/matematica è convessa in Studenti/matematica

  • Studenti/matematica, allora Studenti/matematica è concava in Studenti/matematica

Da questo ultimo teorema si ricava un metodo pratico per determinare la convessità (concavità) di una funzione

Esempio

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

Studiamone la convessità e concavità.

Dobbiamo calcolare la derivata seconda e studiarne il segno.

Studenti/matematica
Studenti/matematica
3

Risolviamo la semplice disequazione

Studenti/matematica

da cui si ricava che

Studenti/matematica
Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica è convessa per Studenti/matematica

Studenti/matematica è concava per Studenti/matematica

verifichiamo quanto calcolato disegnando il grafico della funzione

Studenti/matematica

mentre il grafico della derivata seconda risulta essere

Studenti/matematica